[论文解读] Majorana chain and Ising model -- (non-invertible) translations, anomalies, and emanant symmetries

Nathan Seiberg, Shu-Heng Shao|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2023

Molecular spectroscopy and chirality被引用 15

一句话总结

本文分析格点马约拉纳链及其在连续极限的Ising/马约拉纳共形场理论，以揭示格点来源的（emanant/显现的）对称性、异常，以及导致Ising/Kramers-Wannier对偶结构的不可逆格点平移。

ABSTRACT

We study the symmetries of closed Majorana chains in 1+1d, including the translation, fermion parity, spatial parity, and time-reversal symmetries. The algebra of the symmetry operators is realized projectively on the Hilbert space, signaling anomalies on the lattice, and constraining the long-distance behavior. In the special case of the free Hamiltonian (and small deformations thereof), the continuum limit is the 1+1d free Majorana CFT. Its continuum chiral fermion parity $(-1)^{F_ ext{L}}$ emanates from the lattice translation symmetry. We find a lattice precursor of its mod 8 't Hooft anomaly. Using a Jordan-Wigner transformation, we sum over the spin structures of the lattice model (a procedure known as the GSO projection), while carefully tracking the global symmetries. In the resulting bosonic model of Ising spins, the Majorana translation operator leads to a non-invertible lattice translation symmetry at the critical point. The non-invertible Kramers-Wannier duality operator of the continuum Ising CFT emanates from this non-invertible lattice translation of the transverse-field Ising model.

研究动机与目标

• 激发在费米格点系统及其连续极限中研究对称性与 ’t Hooft 异常的动机。
• 通过背景规范场和异常匹配，将格点马约拉纳链分析与连续马约拉纳CFT连接起来。
• 识别由格点平移产生的显现内部对称性并对其异常进行分类。
• 将格点偶宇/奇偶性、平移与费米子宇性交换态联系到 NSNS/RR/NSR/RNS 自旋结构。
• 展示在对自旋结构求和以获得类Ising玻色理论后出现的不可逆格点对称性。

提出的方法

• 在有限周期格点格点上定义包含每个格点上的实费米子 \u0004 的马约拉纳链，以及格点对称性 T 和 G（费米子奇偶性）。
• 计算显式的格点对称算符 G、T 和 T_G，以及它们对偶/奇 L 上的作用以及缺陷情况下的作用。
• 假设与局部性一致的对称性算符的相位重新定义，以诊断投影表示和异常。
• 通过 T_lattice = (-1)^{F_L} e^{2π i P/L} 将格点平移与连续手性费米子奇偶性联系起来，并分析显现对称性。
• 执行 Jordan-Wigner 变换，将马约拉纳链与Ising模型连接起来，包括缺陷（Kramers-Wannier/DIs）和不可逆格点平移。
• 讨论连续马约拉纳CFT NSNS/RR/NSR/RNS 希尔伯特空间及自旋结构及其异常结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 格点起源的对称性是什么，以及它们如何在马约拉纳链中实现 ’t Hooft 异常？
• RQ2 格点平移如何在连续的马约拉纳CFT中诱导显现的内部对称性，及其异常分类？
• RQ3 对自旋结构求和（GSO 投影）如何将马约拉纳链与 Ising 模型联系起来，并产生不可逆的格点平移？
• RQ4 在不同希尔伯特空间分段（NSNS、RR、NSR、RNS）中，格点平移算子与连续手性费米子奇偶性的精确关系是什么？
• RQ5 这些异常对格点-Ising 对应中的不可逆对称性和对偶性（Kramers-Wannier）有哪些影响？

主要发现

• 马约拉纳链中的格点平移在连续极限中导致显现的手性费米子奇偶性，与 T_lattice 相关于 (-1)^{F_L} 和动量 P。
• 格点对称代数可以实现投影表示，指示在长距离理论中持续的 ’t Hooft 异常。
• 对自旋结构求和（GSO 投影）从马约拉纳系统得到一个玻色Ising模型，并在Ising链中引入不可逆格点平移对称性。
• 在GSO投影后，格点上出现一个不可逆对称算子 D，与Ising平移混合并在连续极限中体现Kramers-Wannier对偶性。
• RR希尔伯特空间展现出投影的D4型对称扩展，以及Z2 × Z2^f对称性的 mod 8 异常结构，与已知的自旋共边界理论分类一致。
• 该分析阐明了格点中的异常与显现对称性如何约束可能的IR行为，并与1+1维马约拉纳费米子在 mod 8 分类中的联系。