[论文解读] Majorana Tensor Decomposition: A unifying framework for decompositions of fermionic Hamiltonians to Linear Combination of Unitaries

Ignacio Loaiza, Artur F. Izmaylov+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2024

Advanced NMR Techniques and Applications被引用 4

一句话总结

本文提出了马约拉纳张量分解（MTD），一种统一框架，通过低秩张量分解将费米子哈密顿量分解为酉算符的线性组合（LCU）。通过以马约拉纳算符表示哈密顿量，并利用如Tucker和矩阵乘积态（MPS）等张量分解方法，MTD 实现了更高效的 LCU 实现，显著降低了量子线路成本，包括减少 T 门数量和辅助量子比特需求，从而在量子化学模拟中显著降低量子电路资源消耗。

ABSTRACT

Linear combination of unitaries (LCU) decompositions have appeared as one of the main tools for encoding operators on quantum computers, allowing efficient implementations of arbitrary operators. In particular, LCU approaches present a way of encoding information from the electronic structure Hamiltonian into a quantum circuit. Over the past years, many different decomposition techniques have appeared for the electronic structure Hamiltonian. Here we present the Majorana Tensor Decomposition (MTD), a framework that unifies existing LCUs and offers novel decomposition methods by using popular low-rank tensor factorizations.

研究动机与目标

• 将现有的费米子哈密顿量 LCU 分解方法统一为单一、系统化的框架。
• 通过最小化 1-范数 λ 并优化线路深度和 T 门数量，降低基于 LCU 的量子算法的资源消耗。
• 通过马约拉纳算符多项式，将 LCU 编码扩展至非费米子哈密顿量，如振动系统。
• 提供一种可扩展的、基于张量分解的方法，以高效实现量子算法中的哈密顿量预言机。
• 在 T 门数量和量子比特使用方面，对 MTD 变体（如 MTD-L⁴、L⁴-MPS）与标准 LCU 方法进行基准测试与比较。

提出的方法

• 该框架将电子结构哈密顿量表示为马约拉纳算符的和，从而实现对 LCU 分解的统一表示。
• 它对两电子积分张量应用低秩张量分解（如 Tucker 和矩阵乘积态（MPS）），以减少 LCU 分解中的酉算符数量。
• 通过受控-SWAP 和受控旋转方案构建块编码预言机，利用 QROM 和多路复用 Givens 旋转加载系数。
• SELECT 电路通过容错 Toffoli 和 T 门构造实现，通过共享资源分配优化辅助量子比特。
• 通过利用张量结构最小化 1-范数 λ，直接降低通过量子化实现相位估计算法的成本。
• 该方法支持非优化和优化的 LCU 实现，包括 MTD-L⁴ 和 L⁴-MPS 变体，并提供明确的 T 门和量子比特成本公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一个统一框架，利用张量分解表达费米子哈密顿量的多种 LCU 分解？
• RQ2 基于张量的 LCU 分解（如 MTD-L⁴ 和 L⁴-MPS）在 T 门和量子比特成本方面与标准 LCU 方法相比如何？
• RQ3 通过马约拉纳算符多项式和张量结构，LCU 分解的 1-范数 λ 能在多大程度上被减少？
• RQ4 MTD 框架能否通过马约拉纳算符表示扩展至非费米子哈密顿量（如振动系统）？
• RQ5 在不同 MTD 变体中，T 门数量与辅助量子比特使用量之间的权衡如何？

主要发现

• MTD-L⁴ 分解的 T 门数量为 N(112β - 196) + 8W - 4，使用 4 + 2N + b_W + 4β 个不可重用量子比特和 b_W 个可重用量子比特，与标准 LCU 相比显著降低了 T 门使用量。
• L⁴-MPS 变体的 T 门成本为 N(4α₂ + 112β - 192) + α₂(8α₁ + 8α₃) + 8α₁ + 4α₃ - 24，通过分层张量结构展现出良好的可扩展性。
• MTD 框架通过利用两电子积分中的低秩结构，降低了 1-范数 λ，在 STO-3G 基组下实现 2-范数误差 < 1×10⁻⁶ 的收敛。
• 该方法仅通过 4 个 Hadamard 门和 8L 个 R_Z 旋转即可高效实现哈密顿量预言机，显著降低了容错线路的开销。
• 该框架支持在多个 PREPARE 电路之间共享辅助量子比特，使多组分实现中的总不可重用量子比特数量最多减少 50%。
• 使用受控 QROM 和多路复用 Givens 旋转，可实现 LCU 系数的可扩展加载，且 T 门开销极低。