[论文解读] Majorants of meromorphic functions with fixed poles

Anton Baranov, Alexander Borichev+1 more|arXiv (Cornell University)|May 2, 2006

Holomorphic and Operator Theory参考文献 10被引用 10

一句话总结

本文為下半平面中具有固定极点的 Blaschke 乘积 $ B $ 所关联的模型子空间 $ K_B $ 中的可接受主要函数建立了精确条件。通过 Hilbert 变换技术和拟解析性定理，证明了若内函数的幅角增长缓慢（例如零点稀疏或具有幂次增长），则任何比任意多项式衰减更快的主要函数均不可接受，除非满足对数积分条件，从而将 Beurling–Malliavin 理论从 Paley–Wiener 空间推广至更一般的模型子空间。

ABSTRACT

Let $B$ be a meromorphic Blaschke product in the upper half-plane with zeros $z_n$ and let $K_B=H^2\ominus BH^2$ be the associated model subspace of the Hardy class. In other words, $K_B$ is the space of square summable meromorphic functions with the poles at the points $\bar z_n$. A nonnegative function $w$ on the real line is said to be an admissible majorant for $K_B$ if there is a non-zero function $f\in K_B$ such that $|f|\le w$ a.e. on $\mathbb{R}$. We study the relations between the distribution of the zeros of a Blaschke product $B$ and the class of admissible majorants for the space $K_B$.

研究动机与目标

• 刻画与具有固定极点的亚纯 Blaschke 乘积相关联的模型子空间 $ K_B $ 的可接受主要函数类。
• 将 Beurling–Malliavin 理论中关于 Paley–Wiener 空间内主要函数的结果推广至 Hardy 空间 $ H^2 $ 中更一般的模型子空间 $ K_B $。
• 研究 Blaschke 乘积 $ B $ 的零点分布如何影响 $ K_B $ 中非平凡主要函数的存在性。
• 确定主要函数 $ w $ 的精确衰减条件，使得存在非零 $ f \in K_B $ 满足 $ |f| \leq w $ 几乎处处在 $ \mathbb{R} $ 上。

提出的方法

• 利用函数 $ \Omega = -\log w $ 的 Hilbert 变换分析 $ K_B $ 中主要函数的可接受性，扩展了 Havin 和 Mashreghi 的技术。
• 应用 Denjoy–Carleman 拟解析性定理，证明若傅里叶变换的导数在零点处为零，则函数必恒为零。
• 通过 Blaschke 乘积的扰动构造辅助函数 $ g \in K_{B^\#} $，将 $ K_B $ 中的可接受性条件转移到 $ K_{B^\#} $，其中 $ B^\# $ 的零点已平移。
• 使用 Legendre 变换方法，将系数 $ \sqrt{y_n} $ 的增长与主要函数的衰减通过函数 $ Y(r) = -\log y(r) $ 联系起来。
• 分析 $ f \in K_B $ 的傅里叶变换 $ F(x) = \int f(t)e^{-itx}dt $，表明光滑性与衰减条件若过强，则意味着 $ f \equiv 0 $。
• 通过级数 $ \sum n^{-3/2} \log(1/y_n) $ 的发散性建立必要与充分条件，将零点分布与可接受性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 Blaschke 乘积 $ B $ 的零点序列 $ \{z_n\} $ 满足何种条件时，主要函数 $ w $ 对模型子空间 $ K_B $ 是可接受的？
• RQ2 主要函数 $ w $ 在 $ \mathbb{R} $ 上的衰减速率与 $ K_B $ 中极点 $ \overline{z}_n $ 的分布之间有何关系？
• RQ3 Beurling–Malliavin 定理中关于 Paley–Wiener 空间内主要函数的结果能否推广至零点非均匀分布的模型子空间 $ K_B $？
• RQ4 函数 $ Y(e^x) = -\log y(e^x) $ 的凸性在决定快速衰减主要函数的可接受性中起何种作用？
• RQ5 当 $ f \in K_B $ 的傅里叶变换的所有导数在零点处为零时，何时可推出 $ f \equiv 0 $？这与主要函数的衰减有何关联？

主要发现

• 若零点 $ z_n = n + i y_n $ 的虚部序列 $ \{y_n\} $ 满足 $ \sum n^{-3/2} \log(1/y_n) < \infty $，则任何满足 $ \mathcal{L}(w) < \infty $ 的偶性、非增主要函数 $ w $ 对 $ K_{B_1} $ 均为可接受的。
• 若 $ \sum n^{-3/2} \log(1/y_n) = \infty $ 且 $ Y(r) = -\log y(r) $ 为凸函数，且 $ Y(e^x) $ 在 $ \mathbb{R} $ 上为凸函数，则对 $ K_{B_1} $ 不存在任何衰减快于任意多项式的可接受主要函数 $ w $。
• 由 $ f \in K_B $ 构造的函数 $ g(t) = \sum \sqrt{y_n} c_n / (t - n + i(y_n + 1)) $ 满足对 $ t > 1 $ 有 $ |g(t)| \leq t^A e^{-Y(t)} $，将系数衰减与主要函数衰减联系起来。
• 若 $ f \in K_B $ 的傅里叶变换 $ F(x) $ 满足对所有 $ k \geq 0 $ 有 $ F^{(k)}(0) = 0 $，且 $ \int_1^\infty r^{-2} \log T(r) dr = \infty $，则 $ f \equiv 0 $，意味着对快速衰减的 $ w $ 不存在此类 $ f $。
• 经典 Denjoy–Carleman 拟解析性定理的应用表明：若 $ \sup_n \sqrt{y_n} (en)^k \leq \exp(\sup_r [k \log r - \frac{1}{2} Y(r/e)]) $，则在对数积分发散时必有 $ f \equiv 0 $。
• 该结果可推广至零点位于虚轴上或具有幂次增长的 Blaschke 乘积，表明只要零点分布不满足对数收敛条件，任何衰减快于任意多项式的主要函数均不可接受。