[论文解读] Majority is Stablest : Discrete and SoS

Anindya De, Elchanan Mossel+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 39被引用 6

一句话总结

本文提出了一种新颖的离散、基于归纳法的 Majority is Stablest 定理证明，避免了对高斯分析或不变性原理的依赖。通过构建一个常数次的平方和（SoS）反证法，证明了 Khot-Vishnoi Max-Cut 实例对 Lasserre 层次结构不产生整数规划间隙，从而解决了硬度近似领域中的一个关键开放问题。

ABSTRACT

The Majority is Stablest Theorem has numerous applications in hardness of approximation and social choice theory. We give a new proof of the Majority is Stablest Theorem by induction on the dimension of the discrete cube. Unlike the previous proof, it uses neither the "invariance principle" nor Borell's result in Gaussian space. The new proof is general enough to include all previous variants of majority is stablest such as "it ain't over until it's over" and "Majority is most predictable". Moreover, the new proof allows us to derive a proof of Majority is Stablest in a constant level of the Sum of Squares hierarchy.This implies in particular that Khot-Vishnoi instance of Max-Cut does not provide a gap instance for the Lasserre hierarchy.

研究动机与目标

• 提供一种不依赖于不变性原理或 Borell 的高斯结果的离散、基于归纳法的 Majority is Stablest 定理证明。
• 将证明推广至包括 'it ain’t over until it’s over' 和 'Majority is most predictable' 等变体。
• 证明 Khot-Vishnoi Max-Cut 实例对平方和（SoS）方法的 Lasserre 层次结构不产生整数规划间隙。
• 建立 Majority is Stableest 定理的常数次 SoS 反证法，表明在 SoS 框架下 Khot-Vishnoi 构造无法作为间隙实例。

提出的方法

• 证明通过在离散立方体的维度上进行归纳，结合离散傅里叶分析与超收缩估计。
• 通过在离散立方体上采用直接的组合与分析归纳论证，避免使用不变性原理和 Borell 不等式。
• 该方法可推广以处理低影响变量的函数，并可扩展至 'Majority is most predictable' 和 'it ain’t over' 等变体。
• 通过为 Khot 和 Vishnoi 的唯一性游戏实例构造一个四次 SoS 反证法，将证明转化为平方和（SoS）证明。
• 作者采用从唯一性游戏到 Max-Cut 的归约，参数化为相关系数 ρ，并证明 Max-Cut 实例的 SoS 松弛形式具有常数次反证法。
• 他们推导出如下 SoS 反证法形式：$ A_m \cup \{1 - \mathbb{E}[\mathrm{Stab}_\rho(g_u)] \geq K(\rho) - \delta - 2^{O(1/\delta^2)} \beta \} \vdash_{O(1/\delta^2)+4} -1 \geq 0 $，其中 β 为唯一性游戏的最优值。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不使用不变性原理或高斯分析的情况下证明 Majority is Stablest 定理？
• RQ2 Khot-Vishnoi Max-Cut 实例是否具有常数次 SoS 反证法，从而表明其对 Lasserre 层次结构不构成整数规划间隙？
• RQ3 该证明能否推广至包括 'it ain’t over until it’s over' 和 'Majority is most predictable' 等变体？
• RQ4 是否存在一种离散的、基于归纳法的 Majority is Stablest 定理证明，可避免使用高斯空间中的深刻结果？
• RQ5 在 Max-Cut 背景下，反驳 Khot-Vishnoi 实例所需的最小 SoS 次数是多少？

主要发现

• 本文提供了一种不依赖于不变性原理或高斯空间中 Borell 不等式的离散、基于归纳法的 Majority is Stablest 定理证明。
• 该证明可推广至包括 'it ain’t over until it’s over' 和 'Majority is most predictable' 等变体，显示出更广泛的应用潜力。
• Khot-Vishnoi Max-Cut 实例对 Lasserre 层次结构不产生整数规划间隙，因为存在常数次 SoS 反证法。
• 为唯一性游戏实例构造了四次 SoS 反证法，其最优值 β = N^{-Ω(η)}，表明该实例可在常数次内被反证。
• SoS 反证法通过从唯一性游戏到 Max-Cut 的归约推导得出，所得不等式 $ A_m \cup \{1 - \mathbb{E}[\mathrm{Stab}_\rho(g_u)] \geq K(\rho) - \delta - 2^{O(1/\delta^2)} \beta \} \vdash_{O(1/\delta^2)+4} -1 \geq 0 $ 对任意 δ > 0 成立。
• 该结果意味着 Khot-Vishnoi 构造无法用于证明 Max-Cut 问题中 Lasserre 层次结构的超常数整数规划间隙。