[论文解读] Majorization, Interpolation and noncommutative Khintchine inequalities

Léonard Cadilhac|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2018

Advanced Banach Space Theory参考文献 20被引用 2

一句话总结

本文通过右单调性和左单调性性质，对偶对 $(L^p(0,\alpha), L^q(0,\alpha))$ 的拟 Banach 对称插值空间进行了表征，解决了 Levitina、Sukochev 和 Zanin 关于序列空间插值的猜想，并将非交换 Khintchine 不等式推广至对称函数空间。关键贡献在于建立了控制与插值之间的对偶关系，从而为非交换 $L^p$-空间中 Khintchine 型不等式提供了新的充分条件。

ABSTRACT

Let $0<p<q\leq\infty$ and $\alpha \in (0,\infty]$. We give a characterization of quasi-Banach interpolation spaces for the couple $(L_p(0,\alpha),L_q(0,\alpha))$ in terms of two monotonicity properties, extending known results which mainly dealt with Banach spaces. This enables us to recover recent results of Cwikel and Nilsson on sequence spaces and to solve a conjecture of Levitina, Sukochev and Zanin in the setting of function spaces. We apply the results obtained to characterize symmetric spaces in which the standard forms of the noncommutative Khintchine inequalities hold.

研究动机与目标

• 通过右单调性和左单调性表征 $(L^p(0,\alpha), L^q(0,\alpha))$ 的拟 Banach 对称插值空间。
• 解决 Levitina、Sukochev 和 Zanin 关于序列空间是否为 $\ell^p$ 与 $\ell^2$ 之间插值空间的猜想。
• 通过控制技术将非交换 Khintchine 不等式的理论推广至对称函数空间。
• 建立 $p$-凸性、$q$-凹性与通过单调性性质实现的插值之间的联系。

提出的方法

• 通过递减重排引入右控制与左控制：若 $\int_t^\infty f^* \geq \int_t^\infty g^*$，则定义 $f \triangleleft g$；若 $\int_0^t f^* \geq \int_0^t g^*$，则定义 $f \succ g$。
• 定义右-$q$-单调性与左-$p$-单调性，作为确保当 $|f|^q \triangleleft |g|^q$ 或 $|f|^p \succ |g|^p$ 时，有 $g \in E$ 且 $\|g\|_E \leq C\|f\|_E$ 的条件。
• 将 Lorentz-Shimogaki 型定理推广至拟 Banach 设置，推广经典插值理论。
• 利用 $K$-泛函与 Boyd 指数，将单调性与插值性质联系起来。
• 通过分析非交换 $G_x = \sum x_i \otimes \xi_i$ 在对称空间中的范数，将该理论应用于非交换 Khintchine 不等式。
• 建立 Khintchine 不等式与通过单调性实现的插值之间的等价关系：例如，在左-2-单调性下，有 $\|G_x\|_E \approx \|x\|_{R_E + C_E}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，对称拟 Banach 函数空间是 $(L^p, L^q)$ 的插值空间？
• RQ2 右-2-单调性是否如 Levitina、Sukochev 和 Zanin 所猜想的那样，表征了序列空间在 $\ell^p$ 与 $\ell^2$ 之间的插值空间？
• RQ3 在对称函数空间中，非交换 Khintchine 不等式在自由 Haar 单位元或 Rademacher 变量下何时成立？
• RQ4 在对称空间中，$p$-凸性与 $q$-凹性如何与左单调性和右单调性相关联？
• RQ5 在表征 Khintchine 不等式时，Fatou 性质是否可以被弱化或移除？

主要发现

• 定理 1.2 表明，对称拟 Banach 函数空间 $E$ 是右-$q$-单调的，当且仅当存在 $p \leq q$ 使得 $E$ 是 $(L^p, L^q)$ 的插值空间，从而在函数空间设定下解决了该猜想。
• 定理 4.1 表明，对称空间 $E$ 是 $(L^p, L^q)$ 的插值空间，当且仅当它同时是左-$p$-单调和右-$q$-单调的。
• 定理 6.4 证明，对于自由 Haar 单位元，$\|G_x\|_E \approx \|x\|_{R_E + C_E}$ 成立当且仅当 $E \in \mathrm{Int}(L^2, L^\infty)$，且 $\|G_x\|_E \approx \|x\|_{R_E}$ 成立当且仅当 $E \in \mathrm{Int}(L^p, L^2)$ 对某个 $p < 2$ 成立。
• 定理 6.6 表明，对于 Rademacher 变量，$\|G_x\|_E \approx \|x\|_{R_E + C_E}$ 成立当且仅当 $E \in \mathrm{Int}(L^2, L^q)$ 对某个 $q > 2$ 成立，且 $\|G_x\|_E \approx \|x\|_{R_E}$ 成立当且仅当 $E \in \mathrm{Int}(L^p, L^2)$ 对某个 $p < 2$ 成立。
• 引理 6.5 证明，若 Khintchine 不等式在 $L^\infty(0,\alpha)$ 中成立，则 $\alpha_E \neq 0$，将 Khintchine 性质与 Boyd 指数联系起来。
• 本文表明，在 Fatou 性质下，$p$-凸性与 $q$-凹性等价于左-$p$-单调性与右-$q$-单调性，从而推广了已知的插值充分条件。