[论文解读] Making a K_4-free graph bipartite

Benny Sudakov|ArXiv.org|Jun 27, 2007

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文证明了任意一个 $n$ 个顶点的 $K_4$-自由图，最多删除 $n^2/9$ 条边即可变为二分图，且等号成立当且仅当该图为三部分大小均为 $n/3$ 的完全三部图。该结果证实了一个长期存在的猜想，由 Erdős 提出，并利用正规性引理与 $K_4$-自由图的结构分析，建立了紧致的极值界。

ABSTRACT

We show that every K_4-free graph G with n vertices can be made bipartite by deleting at most n^2/9 edges. Moreover, the only extremal graph which requires deletion of that many edges is a complete 3-partite graph with parts of size n/3. This proves an old conjecture of P. Erdos.

研究动机与目标

• 解决 Paul Erdős 关于 $K_4$-自由图变为二分图所需删除边数最大值的猜想。
• 确定在 $K_4$-自由图中达到边删除上界时的极值图。
• 将结果推广至满足 $χ(H) = 4$ 的 $H$-自由图，并使用 Szemerédi 的正规性引理。
• 为稠密的 $K_r$-自由图的二分划分问题提供紧致的渐近界。

提出的方法

• 应用 Szemerédi 的正规性引理，将 $K_4$-自由图的顶点集划分为若干 $ϵ$-正规对，且各部分大小有界。
• 利用正规性引理证明：若图中存在大量稠密的正规对，则必然包含一个 $K_4$，与 $K_4$-自由性矛盾。
• 证明任何 $K_4$-自由图若边数超过 $n^2/9$，则必具有稠密的三部图结构。
• 利用极值图论证明：唯一达到 $n^2/9$ 边界值的图是各部分大小相等的完全三部图。
• 将主定理应用于满足 $χ(H) = 4$ 的 $H$-自由图，利用正规性引理在满足密度条件时嵌入一个完全四部图子图。
• 结合主定理的边删除界与密度及正规性分析，推导出 $H$-自由图的渐近界 $(1+o(1))n^2/9$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意 $n$ 个顶点的 $K_4$-自由图，最多需要删除多少条边才能使其变为二分图？
• RQ2 是否只有各部分大小为 $n/3$ 的完全三部图才需要恰好 $n^2/9$ 条边的删除？
• RQ3 该边界 $n^2/9$ 是否可推广至满足 $χ(H) = 4$ 的 $H$-自由图？
• RQ4 $K_4$-自由图的极值构造是否暗示了 $r > 4$ 时 $K_r$-自由图的一般规律？
• RQ5 正规性引理是否可用于推导 $K_r$-自由图中边删除的紧致界？

主要发现

• 任意 $n$ 个顶点的 $K_4$-自由图，最多删除 $n^2/9$ 条边即可变为二分图。
• 唯一需要恰好 $n^2/9$ 条边删除的图是各部分大小为 $n/3$ 的完全三部图。
• $n^2/9$ 的边界是渐近紧致的，无法进一步改进。
• 对于任意固定的 $H$ 满足 $χ(H) = 4$，任意 $n$ 个顶点的 $H$-自由图，最多删除 $(1+o(1))n^2/9$ 条边即可变为二分图。
• 该结果支持 Chung 和 Graham 关于 $K_4$-自由图中局部密度的猜想。
• 利用正规性引理与极值图结构的证明方法，为将结果推广至更高 $r$ 的 $K_r$-自由图提供了可复用的框架。