[论文解读] Making spanning graphs

Peter Allen, Julia Böttcher+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2017

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 7被引用 3

一句话总结

该论文证明，在 $K_n$ 上的 (1:b) Maker-Breaker 游戏中，当 $b \leq c(n/\log n)^{1/D}$ 时，Maker 可以保证获得包含所有最大度数 $\Delta(H) \leq D$ 的有界度图 $H$ 的生成子图，且对最大度数为 $(D-1)/2$ 的图也成立。该结果对 $K_3$-和 $K_4$-因子而言，仅在对数因子范围内是紧致的。

ABSTRACT

We prove that for each $D\ge 2$ there exists $c>0$ such that whenever $b\le c\big( frac{n}{\log n}\big)^{1/D}$, in the $(1:b)$ Maker-Breaker game played on $E(K_n)$, Maker has a strategy to guarantee claiming a graph $G$ containing copies of all graphs $H$ with $v(H)\le n$ and $Δ(H)\le D$. We show further that the graph $G$ guaranteed by this strategy also contains copies of any graph $H$ with bounded maximum degree and degeneracy at most $ frac{D-1}{2}$. This lower bound on the threshold bias is sharp up to the $\log$-factor when $H$ consists of $ frac{n}{3}$ vertex-disjoint triangles or $ frac{n}{4}$ vertex-disjoint $K_4$-copies.

研究动机与目标

• 确定在 $E(K_n)$ 上的 (1:b) Maker-Breaker 游戏中，Maker 能够保证生成图包含所有最大度数 $\Delta(H) \leq D$ 的图 $H$ 的阈值偏差 $b$。
• 将此保证扩展至最大度数有界且分块性至多为 $(D-1)/2$ 的图 $H$。
• 证明所推导的阈值偏差在 $K_3$-和 $K_4$-因子游戏中渐近最优，仅相差对数因子。
• 提供一种确定性策略，使 Maker 即使在 Breaker 使用对抗性边选择时也能成功。
• 通过 $K_3$-和 $K_4$-因子的 Breaker 策略证明边界的紧致性，表明阈值无法显著改进。

提出的方法

• 使用 Maker 的随机策略：将 $K_n$ 的边均匀随机排序，并按此顺序依次占据边，若已被 Breaker 占据则跳过。
• 利用随机图的全局韧性：若 $p \gg n^{-1/m(H)}$，则 $G(n,p)$ 在移除正比例边后通常仍包含所有 $H$ 的副本。
• 通过独立集的划分论证，利用贪心嵌入策略嵌入分块性至多为 $(D-1)/2$ 的图。
• 基于度数约束将顶点集递归划分为独立集，确保每部分具有足够密度以支持嵌入。
• 设计一种 Breaker 策略，将固定顶点 $v_0$ 在 Maker 图中的度数限制在 $n^{2/3}$ 以内，并在其邻域中阻止三角形形成，以阻止 $K_4$-因子的出现。
• 通过基于度数的优先级控制邻域中的边占据：Breaker 优先占据 $N_{G_M}(v_0)$ 中与高阶顶点相连的边，以防止出现稠密子图。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $K_n$ 上的 (1:b) Maker-Breaker 游戏中，Maker 能够保证生成图包含所有满足 $\Delta(H) \leq D$ 的图 $H$ 的最大偏差 $b$ 是多少？
• RQ2 Maker 的策略能否扩展至包含最大度数有界且分块性至多为 $(D-1)/2$ 的图 $H$？
• RQ3 对于 $K_3$-因子和 $K_4$-因子游戏，阈值偏差 $b = \Omega((n/\log n)^{1/D})$ 是否渐近紧致？
• RQ4 当 $b \gg n^{1/3}$ 时，Breaker 是否能阻止 Maker 构造出 $K_4$-因子？如果是，如何实现？
• RQ5 随机图的全局韧性如何支持在接近阈值偏差时存在确定性 Maker 策略？

主要发现

• 对任意 $D \geq 2$，存在 $c > 0$，使得当 $b \leq c(n/\log n)^{1/D}$ 时，Maker 可保证获得包含所有满足 $v(H) \leq n$ 且 $\Delta(H) \leq D$ 的图 $H$ 的图。
• 在相同偏差条件下，Maker 也能保证包含所有满足 $\Delta(H) \leq D$ 且分块性至多为 $(D-1)/2$ 的图 $H$。
• 对于 $K_3$-因子游戏，阈值偏差 $b = \Omega((n/\log n)^{1/D})$ 仅在 $\log n$ 因子范围内是紧致的，当 $b \gg n^{1/2}$ 时，Breaker 可阻止 Maker 构造出 $K_3$-因子。
• 对于 $K_4$-因子游戏，当 $b \gg n^{1/3}$ 时，Breaker 可通过限制固定顶点 $v_0$ 的度数并阻止其邻域中出现三角形，阻止包含 $v_0$ 的 $K_4$-因子的形成。
• 该 $K_4$-因子游戏的策略使用至多 $8n^{1/3}$ 的偏差，表明当 $b \gg n^{1/3}$ 时，Maker 无法赢得 $K_4$-因子游戏。
• 该结果是紧致的：当 $H$ 为 $n/3$ 个顶点不相交的三角形或 $n/4$ 个顶点不相交的 $K_4$ 复制时，阈值偏差分别为 $\Theta(n^{1/2})$ 和 $\Theta(n^{1/3})$，与上界仅相差对数因子。