[论文解读] Malliavin-Skorohod calculus and Paley-Wiener integral for covariance singular processes

Ida Kruk, Francesco Russo|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 47被引用 14

一句话总结

本文为具有奇异协方差的高斯过程构建了一个内在的Malliavin-Skorohod微积分框架，即使路径不具备二次变差，也能实现Paley-Wiener积分和Itô型公式。通过正则化方法建立了对称-Stratonovich积分，并在最小正则性假设下证明了新的Itô公式，特别适用于增量平稳且方差函数有界变差的过程。

ABSTRACT

We develop a stochastic analysis for a Gaussian process $X$ with singular covariance by an intrinsic procedure focusing on several examples such as covariance measure structure processes, bifractional Brownian motion, processes with stationary increments. We introduce some new spaces associated with the self-reproducing kernel space and we define the Paley-Wiener integral of first and second order even when $X$ is only a square integrable process continuous in $L^2$. If $X$ has stationary increments, we provide necessary and sufficient conditions so that its paths belong to the self-reproducing kernel space. We develop Skorohod calculus and its relation with symmetric-Stratonovich type integrals and two types of Itô's formula. One of Skorohod type, which works under very general (even very singular) conditions for the covariance; the second one of symmetric-Stratonovich type, which works, when the covariance is at least as regular as the one of a fractional Brownian motion of Hurst index equal to $H = \frac{1}{4}$.

研究动机与目标

• 为具有奇异协方差的高斯过程发展随机微积分，特别是那些不具有二次变差的过程。
• 为L²连续的平方可积过程定义一阶与二阶Paley-Wiener积分。
• 建立路径属于自再生核空间的必要与充分条件，当增量平稳时。
• 通过正则化方法定义对称-Stratonovich积分，并推导相应的Itô公式。
• 将Skorohod微积分扩展至高度奇异的协方差结构，包括双分数布朗运动与协方差测度过程。

提出的方法

• 引入与自再生核空间相关的新型希尔伯特空间 $ L_R $，以定义Skorohod积分的定义域。
• 使用正则化技术，将对称-Stratonovich积分 $ d^0X $ 定义为涉及导数 $ D_rY_t $ 的平均积分的极限。
• 应用对称迹 $ Tr^0DY $ 的概念，通过涉及平均核的极限，将Skorohod积分与对称积分关联起来。
• 通过结合Skorohod积分与一个涉及方差函数 $ \gamma(t) = \mathrm{Var}(X_t) $ 的校正项，推导出新的Itô公式，条件为有界变差与正则性。
• 在关键示例中验证了假设：增量平稳过程、双分数布朗运动与基于核的高斯过程。
• 采用Malliavin微积分工具，包括散度算子 $ \delta $，并为 $ Y = g(X) $ 在 $ \mathbb{D}^{1,2}(L_R) $ 中建立可积性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有平稳增量的高斯过程的路径属于自再生核空间？
• RQ2 如何为非半鞅过程定义对称-Stratonovich积分，并将其与Skorohod积分关联？
• RQ3 当积分器具有奇异协方差且无二次变差时，Itô公式的正确形式是什么？
• RQ4 Paley-Wiener积分能否被扩展至经典定义域之外的二阶过程？
• RQ5 方差函数 $ \gamma(t) $ 的最小正则性条件是什么，以确保对称迹收敛且Itô公式有效？

主要发现

• 本文建立了新的Itô公式：$ \int_0^t g(X) d^0X = \int_0^t g(X) \delta X + \frac{1}{2} \int_0^t g'(X_s) d\gamma_s $，对 $ g \in C^3_b(\mathbb{R}) $ 成立，条件为 $ \gamma $ 有界变差且满足条件 (13.10)。
• 在相同条件下，证明了对称迹 $ Tr^0DY $ 几乎必然收敛至 $ \frac{1}{2} \int_0^\tau g'(X_s) d\gamma_s $，从而在Itô公式中实现校正项。
• 对于具有平稳增量的过程，条件 (13.10) 自动满足，简化了Itô公式的应用。
• 在多个示例中显式刻画了空间 $ L_R $，包括双分数布朗运动与协方差测度结构。
• 本文证明了在辅助假设 (6.35) 下，$ X $ 本身属于散度算子的经典定义域，从而将适用范围扩展至更广的类。
• 证明了基于正则化的对称积分 $ d^0X $ 满足Stratonovich型Itô公式：$ f(X_t) = f(X_0) + \int_0^t f'(X_s) d^0X_s $，对 $ f \in C^\infty_b(\mathbb{R}) $ 成立。