[论文解读] Malnormality and join-free subgroups in right-angled Coxeter groups

Hung Cong Tran|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 26被引用 5

一句话总结

本文证明了一端右-angled Coxeter 群的所有有限生成的 malnormal 子群均为强拟凸子群，其中无限真子群为无连接（join-free）且几乎自由（virtually free）。关键结果表明，malnormal 性质蕴含强拟凸性，将右-angled Artin 群中已知结果推广至更广泛的右-angled Coxeter 群类，并通过其定义图对几乎 malnormal 的抛物子群进行了刻画。

ABSTRACT

In this paper, we prove that all finitely generated malnormal subgroups of one-ended right-angled Coxeter groups are strongly quasiconvex and they are in particular quasiconvex when the ambient groups are hyperbolic. The key idea is to prove all infinite proper malnormal subgroups of one-ended right-angled Coxeter groups are join-free and then prove the strong quasiconvexity and the virtual freeness of these subgroups. We also study the subgroup divergence of join-free subgroups in right-angled Coxeter groups and compare them with the analogous subgroups in right-angled Artin groups. We characterize almost malnormal parabolic subgroups in terms of their defining graphs and also recognize them as strongly quasiconvex subgroups by the recent work of Genevois and Russell-Spriano-Tran. Finally, we discuss some results on hyperbolically embedded subgroups in right-angled Coxeter groups.

研究动机与目标

• 研究右-angled Coxeter 群中 malnormal 子群的几何与代数性质。
• 将右-angled Artin 群中有限高度蕴含强拟凸性的已知结果推广至右-angled Coxeter 群。
• 通过其定义图刻画几乎 malnormal 的抛物子群，并建立其强拟凸性。
• 研究无连接子群的子群发散性，并与右-angled Artin 群中的类似子群进行比较。
• 探索右-angled Coxeter 群中双曲嵌入子群的结构与性质。

提出的方法

• 通过分析其共轭与交集性质，证明一端右-angled Coxeter 群中无限真 malnormal 子群为无连接。
• 利用 malnormal 子群的无连接性，通过拟测地线与邻域包含的几何论证建立强拟凸性。
• 借助 Genevois 与 Russell-Spriano-Tran 的近期结果，将几乎 malnormal 的抛物子群识别为强拟凸子群。
• 应用有限高度的概念，并分析共轭的交集，推导出子群的结构约束。
• 使用图论与几何技术，比较右-angled Coxeter 群与右-angled Artin 群中子群发散性的差异。
• 利用定义图 Γ 的结构刻画 malnormal 与抛物子群及其性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有一端右-angled Coxeter 群的有限生成 malnormal 子群是否均为强拟凸子群？
• RQ2 右-angled Coxeter 群中有限高度的性质是否可如在右-angled Artin 群中一样，用于推导强拟凸性？
• RQ3 如何通过其定义图刻画右-angled Coxeter 群中几乎 malnormal 抛物子群的特征？
• RQ4 右-angled Coxeter 群中无连接子群的子群发散性与右-angled Artin 群中的情况相比如何？
• RQ5 右-angled Coxeter 群中双曲嵌入子群是否表现出与右-angled Artin 群中类似子群相同的性质？

主要发现

• 所有一端右-angled Coxeter 群的有限生成 malnormal 子群均为强拟凸子群。
• 此类群中无限真 malnormal 子群为无连接，即不存在无限阶元素共轭进入一个连接子群。
• 此类无限真 malnormal 子群为几乎自由，因此稳定，且为双曲。
• 右-angled Coxeter 群中几乎 malnormal 抛物子群可通过其定义图刻画，并为强拟凸子群。
• 右-angled Coxeter 群中无连接子群的子群发散性与右-angled Artin 群中的情况相当，具有相似的几何行为。
• 证明技术依赖于表明 malnormal 子群的有限个共轭的交集为有限集，从而通过拟测地线的邻域控制推导出强拟凸性。