[论文解读] Managing gamma_5 in Dimensional Regularization and ABJ Anomaly

Ruggero Ferrari|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2014

Particle physics theoretical and experimental studies参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文提出了一种使用 Grassmann 变量的新型积分表示法，以在维度正规化中一致地定义涉及 $\gamma_5$ 的狄拉克伽马矩阵的迹，保持洛伦兹协变性，并自然地重现 ABJ 罕见。该方法在单圈下与局部功能方程一致，为维度正规化中的手征场论提供了一个协变且无异常的框架。

ABSTRACT

An integral representation is proposed for the trace involving gamma_5 in dimensional regularization. Lorentz covariance is preserved. ABJ anomaly naturally follows. The Local Functional Equation associated to x-dependent chiral transformations is verified.

研究动机与目标

• 解决在维度正规化中一致定义 $\gamma_5$ 的长期挑战，同时保持洛伦兹协变性。
• 提供一种正规化方案，能够自然地重现 ABJ 罕见，而无需人为假设。
• 验证所提出的迹定义与手征对称性的局部功能方程（LFE）的一致性。
• 为任意时空维度 $D$ 中涉及 $\gamma_5$ 的迹建立闭式公式。
• 确保所提出形式体系中迹的循环性和伽马矩阵的 Clifford 代数。

提出的方法

• 引入使用 Grassmann 变量 $\bar{c}_i$ 和 $\chi_\mu$ 的迹 $\mathrm{Tr}(\not{p}_1\dots\not{p}_N\gamma_5)$ 的积分表示，其生成泛函包含这些变量的双线性形式。
• 应用 Grassmann 积分规则，仅从完全收缩的单项式中提取非零贡献，确保正确的迹结构。
• 证明对于不含 $\gamma_5$ 的偶数 $N$，伽马矩阵代数和迹的循环性得以保持，并通过 Grassmann 积分将此性质扩展至包含 $\gamma_5$ 的情形。
• 通过在 $D$ 中的解析延拓定义迹为亚纯函数，从而实现费曼振幅的维度正规化。
• 将该形式体系应用于计算轴向异常，通过显式单圈计算表明其与 ABJ 结果一致。
• 通过检查由 $x$-依赖手征变换导出的 Ward 恒等式的一致性，验证了在单圈下局部功能方程（LFE）的成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在维度正规化中提出一种一致且洛伦兹协变的 $\mathrm{Tr}(\not{p}_1\dots\not{p}_N\gamma_5)$ 定义？
• RQ2 所提出的积分表示是否保持伽马矩阵的 Clifford 代数和迹的循环性？
• RQ3 能否从迹形式体系中自然地推导出 ABJ 罕见，而无需额外假设？
• RQ4 在此正规化方案下，$\gamma_5$ 存在时，局部功能方程是否仍成立？
• RQ5 Grassmann 积分方法如何确保尽管存在 $\gamma_5$，LFE 中仍保持无异常？

主要发现

• 所提出的积分表示正确重现了伽马矩阵的 Clifford 代数，并在不含 $\gamma_5$ 的迹中保持了迹的循环性。
• 通过 Grassmann 积分引入 $\gamma_5$ 保持了洛伦兹协变性，并允许在 $D$ 维中实现一致的维度正规化。
• ABJ 罕见自然且优雅地从形式体系中导出，其异常与 $D-4$ 成正比，这与四维中的预期一致。
• 单圈计算确认轴向当前异常与标准 ABJ 结果一致：$2i/(4\pi)^2 \, \mathrm{Tr}[\gamma_5 \gamma_\rho \not{p} \gamma_\sigma \not{k}]$。
• 局部功能方程在单圈下得到验证，表明异常并未破坏 LFE 的对称性结构。
• 该方法为涉及 $\gamma_5$ 的迹提供了闭式表达式，异常源于 $D$-维迹中 $\epsilon$-依赖性。