[论文解读] Manifestly covariant canonical quantization II: Gauge theory and anomalies

T. A. Larsson|ArXiv.org|Jan 7, 2005

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 14被引用 5

一句话总结

该论文将显式协变的正则量子化框架扩展至规范理论，通过围绕观测者世界线的场历史泰勒展开来定义协变哈密顿量。研究揭示了一种新颖的、依赖于观测者的规范反常，其与二次 Casimir 算符成正比，该反常对于定义良好且非零的电荷算符以及幺正性是必需的，从而为量子规范理论中的物理自由度提供了新机制。

ABSTRACT

In hep-th/0411028 a new manifestly covariant canonical quantization method was developed. The idea is to quantize in the phase space of arbitrary histories first, and impose dynamics as first-class constraints afterwards. The Hamiltonian is defined covariantly as the generator of rigid translations of the fields relative to the observer. This formalism is now applied to theories with gauge symmetries, in particular electromagnetism and Yang-Mills theory. The gauge algebra acquires an abelian extension proportional to the quadratic Casimir operator. Unlike conventional gauge anomalies proportional to the third Casimir, this is not inconsistent. On the contrary, a well-defined and non-zero charge operator is only compatible with unitarity in the presence of such anomalies. This anomaly is invisible in field theory because it is a functional of the observer's trajectory, which is conventionally ignored.

研究动机与目标

• 将显式协变正则量子化框架扩展至具有第一类约束的规范理论。
• 以保持协变性与幺正性的方式，研究规范代数与微分同胚代数的量子实现。
• 探究在反常存在的情况下，是否存在定义良好且非零的电荷算符。
• 表明传统规范反常并非量子修正的唯一来源；一种新的依赖于观测者的反常由此产生。
• 确立此类新反常并非不一致，而是量子规范理论中幺正性与物理一致性的必要条件。

提出的方法

• 利用场与共轭动量在观测者世界线附近的泰勒展开，构造任意场历史的相空间。
• 将协变哈密顿量定义为相对于观测者作刚性平移的生成元，以时间有序乘积形式表达：$ H = i\int dt\, :\dot{q}^\mu p_\mu:\, $
• 在历史相空间中，以欧拉-拉格朗日方程作为约束来施加动力学，即 $ \mathcal{E}(t) \approx 0 $。
• 应用 BRST 同调理论进行系统量化，将物理态视为历史相空间中同调类的代表。
• 通过 $ p $-阶微分截断对泰勒级数进行正则化，并取 $ p \to \infty $ 极限以恢复连续场论。
• 分析规范代数的量子实现，表明该代数获得了一个与二次 Casimir 算符成正比的阿贝尔扩张。

实验结果

研究问题

• RQ1 显式协变正则量子化框架能否一致地描述具有幺正表示的规范理论？
• RQ2 依赖于观测者的反常在确保定义良好且非零的电荷算符方面起什么作用？
• RQ3 与传统反常相比，量子修正对规范代数与微分同胚代数的结构和影响有何不同？
• RQ4 为何存在一种新的反常（与二次 Casimir 成正比）是量子理论中幺正性所必需的？
• RQ5 这种新反常能否被一致地移除或重整化，还是其为协变量化方案中的内在特征？

主要发现

• 在规范代数的量子实现中出现了一类新型规范反常，其与二次 Casimir 算符成正比，这类反常在传统场论中并不存在。
• 该反常依赖于观测者，仅在阿贝尔理论（如自由 QED）中消失，此时伴随表示的第二类 Casimir 为零。
• 只有在存在此类反常时，非零电荷算符才能被良好定义，并与幺正性相容。
• 该反常并不表示不一致性；相反，它确保了经典规范自由度在量子理论中成为物理可观测量。
• 通过 $ p $-阶微分截断的正则化导致对电荷贡献的条件，这些条件在 $ N=4 $ 情况下无解，暗示需要进一步的重整化。
• 与近似规范群的格点规范理论不同，该形式体系实现了完整的连续规范代数，并正确包含了量子反常。