[论文解读] Manifolds over Cayley-Dickson algebras and their immersions

S. V. Lüdkovsky|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2012

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 27被引用 11

一句话总结

本文引入了在Cayley-Dickson代数上的全纯流形，将复流形理论推广至非结合代数（如四元数和八元数）。通过投影技术和非交换几何，建立了浸入与嵌入的条件，证明了仿紧的${\cal A}_r$-全纯流形可浸入${\cal A}_r^{2m}$，并嵌入于${\cal A}_r^{2m+1}$，且对于具有可数图册的流形，可实现全纯嵌入于$l_2(\lambda, {\cal A}_r)$。

ABSTRACT

Holomorphic manifolds over Cayley-Dickson algebras are defined and their embeddings and immersions are studied.

研究动机与目标

• 定义并研究Cayley-Dickson代数${\cal A}_r$上的全纯流形，将复流形理论推广至非结合代数。
• 建立此类流形可浸入或嵌入更高维${\cal A}_r$-空间的条件。
• 利用投影与体积论证，将经典嵌入定理（如惠特尼定理）推广至非结合设置。
• 证明对于具有可数图册的仿紧流形，存在全纯嵌入于希尔伯特空间$l_2(\lambda, {\cal A}_r)$。

提出的方法

• 通过在${\cal A}_r^m$或$l_2(\lambda, {\cal A}_r)$上定义过渡映射为${\cal A}_r$-全纯的，来定义${\cal A}_r$-全纯流形。
• 使用${\cal A}_r$-线性投影$\pi_l: {\cal A}_r^N \to ({\cal A}_r^{N-1})_l$逐步降低余维数，确保微分的单射性。
• 利用${\cal A}_r$上射影空间${{\cal A}_r}P^{N-1}$上的黎曼体积测度$\mu$，分析第一类与第二类禁止方向（即投影无法实现浸入或单射的方向）。
• 应用莫尔斯理论，证明当$N > 2m$或$N > 2m+1$时，有$\mu(g(Q)) = 0$和$\mu(\psi(\Phi)) = 0$，从而保证良好投影方向的存在性。
• 利用非交换Stone-Weierstrass定理与紧致性，建立逼近与嵌入性质。
• 通过一族全纯函数$\psi_j$将$M$映射至$l_2(\lambda, {\cal A}_r)$，利用无限维希尔伯特空间的同构性，构造全局${\cal A}_r$-全纯嵌入。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在非结合的Cayley-Dickson代数（如四元数与八元数）上定义全纯流形？
• RQ2 在何种条件下，此类流形可浸入有限维${\cal A}_r$-空间？
• RQ3 对于仿紧的${\cal A}_r$-全纯流形（${\cal A}_r$-维数为$m$），其嵌入所需的最小余维数是多少？
• RQ4 当投影失败时的禁止方向如何影响浸入与嵌入的存在性？
• RQ5 能否为具有可数图册的流形构造无限维全纯嵌入？

主要发现

• 当$N > 2m$时，通过避开第一类禁止方向，仿紧的${\cal A}_r$-全纯流形（${\cal A}_r$-维数为$m$）可浸入${\cal A}_r^{2m}$。
• 当$N > 2m+1$时，通过避开第二类禁止方向，此类流形可嵌入${\cal A}_r^{2m+1}$。
• 第一类禁止方向的集合在${{\cal A}_r}P^{N-1}$上测度为零，确保了合适投影方向的存在性。
• 第二类禁止方向的集合同样测度为零，经适当平移后可实现单射投影。
• 对于具有可数图册的仿紧流形，由于同构性与逼近性质，存在全局${\cal A}_r$-全纯嵌入于$l_2(\lambda, {\cal A}_r)$。
• ${\cal A}_r$-全纯流形的切丛$TM$继承了${\cal A}_r$-全纯结构，其纤维同构于${\cal A}_r$-向量空间。