[论文解读] Manifolds with conullity at most two as graph manifolds

Luis A. Florit, Wolfgang Ziller|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 21被引用 7

一句话总结

本文证明了完备、有限体积的共余数至多为2的黎曼流形（即曲率张量余数 ≥ n−2）全局等距同构于扭曲圆柱——即流形 L²×ℝⁿ⁻² 关于离散等距作用的商空间——从而将其表征为几何图流形。关键结果解决了有限体积情形下的Nomizu猜想，证明此类流形在完备且有限体积时为局部对称，尽管在一般情形下存在反例。

ABSTRACT

We find necessary and sufficient conditions for a complete $n$-dimensional Riemannian manifold of finite volume, whose curvature tensor has nullity at least $n-2$, to be a geometric graph manifold. In the process, we show that Nomizu's conjecture, well known to be false in general, is true for manifolds with finite volume.

研究动机与目标

• 将完备、有限体积的共余数至多为2的黎曼流形表征为几何图流形。
• 确定此类流形全局等距同构于扭曲圆柱的充要条件。
• 在有限体积设定下解决Nomizu猜想，表明其在完备、有限体积的CN2流形中成立，尽管在一般情形下不成立。

提出的方法

• 分析曲率张量 R 的余数分布 Γ，证明其定义了一个可积、全测地且局部平行的叶状结构。
• 证明完备 CN2 流形中非平坦点的每个有限体积连通分支全局等距同构于扭曲圆柱 (L²×ℝⁿ⁻²)/G。
• 利用边界余数叶（BNL）和局部连通分支的结构，证明构成边界的平坦超曲面是完备且全测地的。
• 应用Szabó（1991）关于半对称空间的结果，推导出有限体积的CN2流形是局部对称的。
• 通过证明平坦边界分量具有有限体积且为平坦，从而证明其为紧致。
• 利用管状邻域论证和曲率衰减，表明边界分量在局部具有类似积的结构，因此等距同构于 H×Fⁿ⁻²，其中 Fⁿ⁻² 为紧致流形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，完备、有限体积的黎曼流形其共余数至多为2时，全局等距同构于扭曲圆柱？
• RQ2 Nomizu猜想——完备局部不可约半对称空间为局部对称——在有限体积的CN2流形中是否成立？
• RQ3 有限体积CN2流形中扭曲圆柱的边界分量是否可能非紧致，或必须为紧致？
• RQ4 非平坦点的局部连通分支在平坦超曲面附近的行为如何？这对其整体结构有何含义？
• RQ5 边界余数叶（BNL）在决定相邻扭曲圆柱的拼接结构中起何作用？

主要发现

• 完备CN2流形中每个有限体积的非平坦点连通分支均全局等距同构于扭曲圆柱 (L²×ℝⁿ⁻²)/G。
• 每个此类扭曲圆柱的边界为一组不相交的完备、平坦、全测地、嵌入的超曲面。
• 每个边界分量均为紧致，因其为有限体积的平坦流形。
• 在任一边界点处，局部连通分支的数量恰好为两个，意味着具有明确定义的拼接结构。
• 边界分量在局部等距同构于一条测地线与一个紧致平坦因子的积，且其度量与积度量 C∞-接近。
• 在给定条件下，Nomizu猜想对有限体积的CN2流形成立，因其为局部对称。