[论文解读] Manifolds with infinite dimensional group of holomorphic automorphisms and the Linearization Problem

Frank Kutzschebauch|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2019

Holomorphic and Operator Theory参考文献 48被引用 4

一句话总结

本文研究复流形上全纯自同构群的结构，特别关注具有无穷维自同构群的流形，如$\mathbb{C}^n$。论文引入并分析了这些群的紧致性与灵活性性质，将其应用于解决几何问题，并提出了全纯线性化问题的新判据，表明在特定条件下，某些$G$-作用在斯坦曼曲面上的全纯线性化作用与线性作用共轭。

ABSTRACT

We overview a number of precise notions for a holomorphic automorphism group to be big together with their implications, in particular we give an exposition of the notions of flexibility and of density property. These studies have their origin in the famous result of Andersén and Lempert from 1992 proving that the overshears generate a dense subgroup in the holomorphic automorphism group of $\C^n, n\ge 2$. There are many applications to natural geometric questions in complex geometry, several of which we mention here. Also the Linearization Problem, well known since the 1950 s and considered by many authors, has had a strong influence on those studies. It asks whether a compact subgroup in the holomorphic automorphism group of $\C^n$ is necessarily conjugate to a group of linear automorphisms. Despite many positive results, the answer in this generality is negative as shown by Derksen and the author. We describe various developments around that problem.

研究动机与目标

• 理解复流形上全纯自同构群的结构及其‘丰富性’，特别是$\mathbb{C}^n$的情形。
• 阐明紧致性与灵活性性质在刻画具有丰富自同构群的复流形中的作用。
• 通过识别非线性群作用在$\mathbb{C}^n$上与线性作用共轭的条件，解决长期存在的全息线性化问题。
• 基于商空间的分层全纯微分同构，提出判断斯坦$G$-流形是否$G$-全纯微分同构于线性$G$-模的新判据。
• 探讨这些结果对通过自同构群结构刻画$\mathbb{C}^n$在斯坦曼曲形中的意义。

提出的方法

• 论文通过全纯向量场与自同构的生成集，定义并分析了紧致性与灵活性性质。
• 使用剪切与超剪切自同构——即完全全纯向量场的时-1映射——作为$\mathbb{C}^n$自同构群的基本构建块。
• 该方法依赖于$G$-流形的范畴商$Q_X$与$Q_V$之间的分层全纯微分同构，以比较几何结构。
• 引入‘大’$G$-概形的概念，要求稳定子群具有余维条件，以确保局部与全局的$G$-全纯微分同构。
• 通过结合卢纳的切片定理、范畴商理论以及半单群作用的结构，证明了定理。
• 该方法适用于斯坦曼曲面上的$G$-作用，并建立了通过商等价实现此类作用线性化的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，复流形$X$上半单群$G$的全纯作用与$G$-模$V$上的线性作用全纯微分同构？
• RQ2 能否利用斯坦曼曲形$X$的全纯自同构群来刻画$X$为全纯微分同构于$\mathbb{C}^n$？
• RQ3 自同构群的紧致性与灵活性性质在全息线性化问题及仿射空间刻画中起何作用？
• RQ4 范畴商$Q_X \simeq Q_V$的分层全纯微分同构如何与$X$与$V$之间的全局$G$-全纯微分同构相关联？
• RQ5 给定半单群$G$的非线性化全纯作用可能发生的最小维数是多少？

主要发现

• 若斯坦$G$-流形$X$与$G$-模$V$的范畴商$Q_X \simeq Q_V$通过分层全纯微分同构同构，且$V$为大，则$X$与$V$是$G$-全纯微分同构。
• 对于$SL_2(\mathbb{C})$-作用，若$Q_X$与$Q_V$之间存在分层全纯微分同构，则$X$即为$SL_2(\mathbb{C})$-全纯微分同构于$V$，即使不满足‘大’条件亦然。
• 当范畴商$Q_V$为一维时，$Q_X$与$Q_V$之间的分层全纯微分同构意味着$X$是$G$-全纯微分同构于$V$，从而提供了线性化的新型判据。
• 结果表明，全息线性化问题可通过商空间结构来研究，为经典方法之外提供了新框架。
• 科拉斯-鲁塞尔立方三流形$M_{KR}$无法通过这些判据分析，因其卢纳商不与任何线性作用的商同构，其与$\mathbb{C}^3$的全纯微分同构性仍悬而未决。
• 本文表明，仅凭自同构群结构（无需拓扑信息）目前尚不足以解决$\mathbb{C}^n$在斯坦曼曲形中的刻画问题。