[论文解读] Manifolds with positive orthogonal Ricci curvature

Lei Ni, Qingsong Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 17被引用 7

一句话总结

本文研究具有正正交 Ricci 曲率 ($Ric^\perp > 0$) 的紧致 Kähler 流形，证明了 $b_2 = 1$ 的 Kähler C-空间以及不含 $\mathbb{P}^1$ 因子的紧致 Hermitian 对称空间均 admits 此类度量。在三维与四维中建立了分类结果，表明在三维中 $Ric^\perp > 0$ 蕴含有理连通性，而在四维中此类流形要么是 $\mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^2$，要么具有特定的纤维化结构。

ABSTRACT

In this paper we study the class of compact Kähler manifolds with positive orthogonal Ricci curvature: $Ric^\perp>0$. First we illustrate examples of Kähler manifolds with $Ric^\perp>0$ on Kähler C-spaces, and construct ones on certain projectivized vector bundles. These examples show the abundance of Kähler manifolds which admit metrics of $Ric^\perp>0$. Secondly we prove some (algebraic) geometric consequences of the condition $Ric^\perp>0$ to illustrate that the condition is also quite restrictive. Finally this last point is made evident with a classification result in dimension three and a partial classification in dimension four.

研究动机与目标

• 理解紧致 Kähler 流形类 $\mathcal{M}_n^\perp$，其上存在满足 $Ric^\perp > 0$ 的 Kähler 度量。
• 构造此类流形的新例子，特别是 $b_2 = 1$ 的 Kähler C-空间以及射影化向量丛上的例子。
• 建立 $Ric^\perp > 0$ 所施加的几何与拓扑限制，表明该条件既丰富又具有约束性。
• 对复维数三与四的紧致 Kähler 流形进行分类，其上满足 $Ric^\perp > 0$。
• 探讨 $Ric^\perp > 0$ 与代数几何不变量（如 $h^{p,0}$、$\pi_1$ 与 Picard 数）之间的关系。

提出的方法

• 利用 Itoh 与 Chau-Tam 的曲率计算，证明 $b_2 = 1$ 的 Kähler C-空间上的 Kähler-Einstein 度量满足 $Ric^\perp > 0$。
• 通过基度量的拉回与典范线丛的一阶陈类形式的组合，在 $\mathbb{P}(E^*)$ 上构造 Kähler 度量。
• 应用 Bochner 公式与代数曲率算子分解，将 $Ric^\perp$ 与 $R_{Ric} - R$ 的全纯截面曲率联系起来。
• 利用 Mori 锥中极射线的结构以及 Fano 四流形的分类，分析纤维化结构与纤维类型。
• 利用 $Ric^\perp \equiv 0$ 在 $n \geq 3$ 时蕴含平坦性，或在 $n=2$ 时蕴含局部共形平坦性（即两曲率相反的曲线的乘积）的事实，排除某些拓扑结构。
• 利用代数几何中的结果，包括“$\mathbb{P}^n$ 上的均匀平凡向量丛必为平凡丛”这一定理，证明四维情形下的分类结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些 Kähler C-空间 admits 满足 $Ric^\perp > 0$ 的 Kähler 度量？
• RQ2 能否在紧致 Kähler 流形上的射影化向量丛上实现 $Ric^\perp > 0$？
• RQ3 $Ric^\perp > 0$ 对紧致 Kähler 流形施加了哪些代数与拓扑约束？
• RQ4 复维数三的紧致 Kähler 流形中，满足 $Ric^\perp > 0$ 的流形如何分类？
• RQ5 复维数四的紧致 Kähler 四流形中，满足 $Ric^\perp > 0$ 且 $\rho(M) = 1$ 的流形可能具有何种结构？

主要发现

• $b_2 = 1$ 且 $n \geq 2$ 的 Kähler C-空间 admits Kähler-Einstein 度量且满足 $Ric^\perp > 0$，此结果通过 [15] 中的曲率计算得到证明。
• 不含 $\mathbb{P}^1$ 因子的紧致 Hermitian 对称空间满足 $Ric^\perp > 0$，该结果扩展至例外情形。
• 若两个流形属于 $\mathcal{M}_n^\perp$ 且具有非负 Ricci 曲率，则其乘积属于 $\mathcal{M}_{n+m}^\perp$，表明该类在乘积下封闭。
• 在三维中，任意紧致 Kähler 流形若满足 $Ric^\perp > 0$，则为有理连通流形，且 $\pi_1$ 有限，同时对 $p = 1,2$ 有 $h^{p,0} = 0$。
• 在四维中，若紧致 Kähler 流形满足 $Ric^\perp > 0$ 且 $\rho(M) = 1$，则其必为 $\mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^2$，或具有 del Pezzo 纤维的纤维化结构。
• 满足 $Ric^\perp \equiv 0$ 的流形在 $n \geq 3$ 时为平坦流形，或在 $n = 2$ 时为局部共形平坦流形（即两曲率相反的曲线的乘积）。