[论文解读] Many-body localization and new critical phenomena in regular random graphs and constrained Erdős-Renyi networks

В. А. Аветисов, A. Gorsky+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2016

Complex Network Analysis Techniques参考文献 1被引用 3

一句话总结

该论文提出，规则随机图（RRG）和受限 Erdős-Rényi 网络（CERN）中由三元环引起的结构无序，驱动了 Fock 空间中的多体局域化相变，实现了‘无 disorder 的局域化’。在临界化学势 μ 以上，能谱分裂为局域化与非局域化区域，二者由局域化边（mobility edge）分隔，后者对应共振三元组的簇，表明通过记忆依赖统计表现出非遍历的非局域化态。

ABSTRACT

We consider from the localization perspective the new critical phenomena discovered recently for perturbed random regular graphs (RRG) and constrained Erdős-Rényi networks (CERN) \cite{crit2}. At some critical value of the chemical potential of 3-cycles, $μ$, the network decays into the maximally possible number of almost full subgraphs, and the spectrum of the Laplacian matrix acquires the two-zonal structure with a large gap. We find that the Laplacian eigenvalue statistics corresponds to delocalized states in one zone, and to the localized states in the second one. We interpret this behavior in terms of the many-body localization problem where the structure of the Fock space of some interacting many-body system is approximated by the RGG and/or by the CERN. We associate 3-cycles in RRGs and CERNs as resonant triples in the Fock space. We show that the scenario of the "localization without disorder", discussed previously in physical space, can be realized in the Fock space as well. We argue that it is natural to identify clusters in a RRG with particles in a many-body system above the phase transition. We discuss the controversial issue of an additional phase transition between ergodic and non-ergodic regimes in the delocalized phase in the Fock space and find a strong "memory dependence" of the states in the delocalized phase, thus advocating existence of non-ergodic delocalized states.

研究动机与目标

• 研究 RRG 和 CERN 网络中如三元环等结构特征如何在多体系统的 Fock 空间中诱导局域化。
• 检验在平移对称系统中，是否可通过自发结构组织实现‘无 disorder 的局域化’。
• 确定谱中是否存在局域化与非局域化相的分隔边界（即局域化边），以及非局域化态是否为遍历或非遍历。
• 探讨共振三元组（三元环）作为 Fock 空间中相互作用多体态的类比作用。
• 通过能级间距统计与记忆依赖性评估非遍历非局域化相猜想的有效性。

提出的方法

• 作者使用 RRG 和 CERN 网络对相互作用多体系统的 Fock 空间进行建模，将顶点视为基态，边视为共振跃迁。
• 引入三元环的化学势 μ 以调控网络拓扑，模拟通过自发结构无序形成簇的过程。
• 拉普拉斯矩阵的谱分析揭示了双区结构，当 μ > μ_cr 时出现大能隙，表明存在局域化边。
• 利用能级间距统计对态进行分类：Wigner-Dyson 统计对应非局域化态，Poisson 统计对应局域化态，从而识别相变边界。
• 邻接矩阵结构的数值可视化支持了具有记忆依赖性的非遍历非局域化态的存在。
• 本研究与副本对称性破缺及本征求解本征值瞬子现象类比，表明局域化相变背后存在模块化结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 RRG 和 CERN 网络中三元环的存在是否会在无外部 disorder 的情况下诱导 Fock 空间中的局域化相变？
• RQ2 由三元环引起的结构无序是否可在谱中引发局域化边，从而分隔局域化与非局域化相？
• RQ3 在 μ_cr 以上的非局域化态是遍历的还是非遍历的？其分类的证据是什么？
• RQ4 网络中共振三元组（三元环）如何对应于 Fock 空间中的相互作用多体态？
• RQ5 记忆依赖性在非局域化相中起什么作用？它是否支持非遍历非局域化态的存在？

主要发现

• 在三元环的临界化学势 μ_cr 以上，拉普拉斯谱分裂为两个区域：一个为非局域化态（Wigner-Dyson 统计），另一个为局域化态（Poisson 统计），二者由局域化边分隔。
• 局域化态对应于最密集连接子图形成的簇，表明在无对角 disorder 的情况下存在结构局域化。
• 非局域化相在波函数中表现出强烈的记忆依赖性，支持非遍历非局域化态的存在，而非遍历态。
• 网络中的共振三元组（三元环）被解释为 Fock 空间中相互作用多体态，其数量对局域化行为具有关键影响。
• 该相变被解释为在平移对称系统中通过三元环形成引发的自发结构组织所导致的‘无 disorder 的局域化’。
• 数值证据表明，非局域化相可能对应于一步副本对称性破缺，与非遍历性及多重分形波函数结构一致。