[论文解读] Many-body theory of non-equilibrium systems

Alex Kamenev|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2004

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 7被引用 65

一句话总结

本文提出了非平衡量子多体系统基中基的凯尔迪什形式化功能积分表述，采用闭合时间圈路来描述动力学，而无需依赖终态信息。推导了玻色场的凯尔迪什作用量，建立了与经典朗之万方程和福克-普朗克方程的联系，并通过 $i0$ 正则化展示了量子效应的出现，从而实现了量子输运方程和无序系统非线性 $\sigma$-模型的推导。

ABSTRACT

Lectures notes for 2004 Les Houches Summer School on "Nanoscopic Quantum Transport". These lectures contain an introduction to Keldysh formalism for interacting bosonic and fermionic systems, presented in the functional integral framework. Covered topics include: kinetic theory, relation to classical techniques (such as Martin--Siggia--Rose and Fokker--Planck), non--linear sigma model for disordered fermions, etc.

研究动机与目标

• 开发一种基于凯尔迪什圈路的非平衡量子多体理论系统性功能积分方法。
• 建立凯尔迪什形式化与经典方法（如马丁-西吉亚-罗斯技术以及朗之万/福克-普朗克方程）之间的联系。
• 提供一种计算完整计数统计并处理无序系统的方法，无需使用副本或超对称性。
• 将凯尔迪什形式化推广至费米子、相互作用玻色子以及具有淬火无序的系统。
• 证明在特定极限下，凯尔迪什形式化与平衡马苏巴拉技术等价，为复杂解析延拓提供替代方案。

提出的方法

• 使用包含前进和后退分支的闭合时间圈路 $\mathcal{C}$，以避免非平衡动力学中对终态的依赖。
• 通过凯尔迪什旋转 $q_\pm = q_{\text{cl}} \pm q_q$，将凯尔迪什作用量表示为经典分量 ($q_{\text{cl}}$) 和量子分量 ($q_q$) 的形式。
• 推导谐振子的凯尔迪什路径积分作用量：$S[q] = \int_{\mathcal{C}} dt \left[ \frac{1}{2} \dot{q}^2 - \frac{\omega_0^2}{2} q^2 \right]$，其在圈路上退化为标准费曼作用量。
• 引入一个滞后微分算符 $(-\partial_t^2 + v_s^2 \nabla_r^2)^R$，以在凯尔迪什作用量中强制实现时间有序动力学。
• 显式积分量子分量 $q_q$，通过 $\delta$-函数约束强制实现经典运动方程。
• 通过凯尔迪什作用量推广至场论：实标量场的作用量为 $S[\varphi] = \int dr \int_{\mathcal{C}} dt \left[ \frac{1}{2} \dot{\varphi}^2 - \frac{v_s^2}{2} (\nabla_r \varphi)^2 - U(\varphi) \right]$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过功能积分系统地推导非平衡量子系统的凯尔迪什形式化？
• RQ2 凯尔迪什形式化与经典随机方法（如马丁-西吉亚-罗斯方法和朗之万方法）之间的精确关系是什么？
• RQ3 凯尔迪什形式化如何实现对平均值和关联函数之外的完整计数统计的计算？
• RQ4 凯尔迪什形式化在无序系统中如何作为副本和超对称方法的替代方案？
• RQ5 凯尔迪什作用量在半经典极限下如何恢复经典动力学，以及量子修正出现在何处？

主要发现

• 凯尔迪什形式化通过在生成泛函中编码完整的概率分布，使得量子可观测量的完整计数统计得以计算。
• 作用量中的 $i0$ 正则化项 $i0 q_q^2$ 负责动力学的滞后性质，并确保正确的量子演化。
• 在半经典极限下，通过 $\delta$-函数约束，$q_q$-积分强制实现经典牛顿运动方程 $\ddot{q}_{\text{cl}} = -\partial U / \partial q_{\text{cl}}$。
• 对于谐振系统，$O(q_q^3)$ 项恒为零，因此量子修正完全由 $i0$ 项和时间导数的滞后正则化所编码。
• 标量场的凯尔迪什作用量形式为 $S[\varphi_{\text{cl}}, \varphi_q] = \int dr \int dt \left[ 2\varphi_q (v_s^2 \nabla_r^2 - \partial_t^2)^R \varphi_{\text{cl}} + \cdots \right]$，其中滞后算符确保因果性。
• 该形式化成功重现了无序费米子的乌萨德尔方程和非线性 $\sigma$-模型，证明了其在非微扰和强关联区域中的实用性。