[论文解读] Many-particle quantum hydrodynamics: Basic principles and fundamental applications

Pavel A. Andreev, L. S. Kuz|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2014

Ionosphere and magnetosphere dynamics参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文从包含显式库仑相互作用的多体薛定谔方程出发，严格推导出多体量子流体动力学（MPQHD），建立了连续性方程、欧拉方程和能量平衡方程。推导了笛卡尔、柱坐标和球坐标系下的量子流体动力学方程，包含量子Bohm势和惯性力，并将其应用于简并量子等离子体中的集体激发，得到了一维、二维和三维系统中朗缪尔波的解析频谱，涵盖了交换相互作用和外磁场的影响。

ABSTRACT

We present a detailed derivation of the continuity, Euler, and energy balance equations from many particle Schrodinger equation. Interparticle interaction is explicitly considered as the Coulomb interaction. We show the QHD equations in a form suitable for low dimensional systems. The QHD equations in the cylindrical and spherical coordinates are presented as well. We present a method of non-linear Schrodinger equation derivation from the QHD equations. We describe a method of exchange interaction calculation for two- and three-dimensional quantum plasmas. We discuss explicit form and area of applicability of equations of state for 1D, 2D, and 3D degenerate electrons. We explicitly consider equations of state for degenerate electron gas in an external magnetic field. Considering QHD equations in cylindrical coordinates we focus our attention on the quantum part of the inertia forces and contribution of the quantum Bohm potential to the spectrum of quantum cylindrical waves. Collective excitations of 2DEG on spherical surface are considered. Equation of state for degenerate 2DEG on a spherical surface is obtained. We apply the QHD equations to small amplitude collective excitations in linear regime of QHD equations. We consider the Langmuir waves in 1D, 2D, and 3D quantum plasmas including the exchange Coulomb interaction. Considering quantum plasmas located in an external magnetic field we focus our attention on longitudinal waves propagating perpendicular to the external magnetic field. We present this consideration for 1D, 2D, and 3D plasmas. We discuss dependence of the exchange interaction on rate of polarization of spins in the external magnetic field. We include dependence of the pressure of degenerate electrons on the strength of the external magnetic field via the change of occupation of quantum states at application of an external magnetic field.

研究动机与目标

• 从多体薛定谔方程直接建立多体量子流体动力学（MPQHD）的严格框架，不依赖于输运理论。
• 推导包含显式库仑相互作用和量子修正（如Bohm势）的量子等离子体的连续性方程、欧拉方程和能量平衡方程。
• 将MPQHD推广至曲面几何，包括柱坐标和球坐标系，并分析这些系统中量子惯性力和Bohm势的贡献。
• 将MPQHD应用于计算简并电子气在外磁场下及存在交换相互作用时的集体激发谱，包括朗缪尔波。
• 推导一维、二维和三维简并电子气的状态方程，包含由Landau能级占据导致的磁场依赖性。

提出的方法

• 通过在多体薛定谔方程上取量子力学平均，推导MPQHD方程，其中粒子浓度定义为粒子位置上狄拉克δ函数的平均值。
• 在连续性方程和欧拉方程的推导中显式包含库仑相互作用，通过Slater行列式形式推导交换相互作用项。
• 在柱坐标和球坐标系中推导量子流体动力学方程，完整处理量子惯性力和Bohm势项。
• 将线性化的MPQHD方程应用于计算一维、二维和三维量子等离子体中朗缪尔波的色散关系，包含交换相互作用和磁场效应。
• 从MPQHD方程推导非线性薛定谔方程（NLSE），作为弱非线性激发的极限情况。
• 利用量子分布函数算符将MPQHD与量子输运理论联系起来，为量子流体动力学与输运理论提供统一基础。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地将多体薛定谔方程约化为包含Bohm势和交换相互作用等量子修正的流体动力学方程？
• RQ2 在柱坐标和球坐标系中，量子流体动力学方程的精确形式是什么？量子惯性和Bohm势如何在这些几何中改变波的色散关系？
• RQ3 在存在外磁场的情况下，交换相互作用和费米压对二维和三维量子等离子体中朗缪尔波谱的贡献是什么？
• RQ4 由于Landau能级量化，一维、二维和三维系统中简并电子气的状态方程如何依赖于外磁场强度？
• RQ5 MPQHD框架能否用于推导非线性薛定谔方程，并描述量子等离子体在非线性区域的集体激发？

主要发现

• 在球坐标系中，MPQHD方程给出2DEG球面上朗缪尔波的频谱为 $\omega^2 = \frac{l(l+1)}{2l+1}\omega_{Le,Sp}^2 + l(l+1)\frac{3\pi\hbar^2 n_{0,2D}^2}{4m^2} + \frac{\hbar^2}{4m^2 R^4} l(l+1)(3 + l(l+1)) + \widetilde{\Omega}^2$，其中 $\widetilde{\Omega}^2$ 包含量子惯性和Bohm势的θ分量贡献。
• 有效波数 $k_{\text{eff}} = l/R$ 出现在色散关系的主导项中，与平面2DEG情况类似，表明在 $l$ 较大时与已知的二维结果一致。
• 在二维和三维量子等离子体中，交换相互作用被显式推导，并表明其依赖于外磁场下的自旋极化程度，从而修改集体激发谱。
• 在球面上的二维简并电子气的状态方程为 $p = \frac{3n}{8\pi} \left( \frac{4\pi^2 \hbar^2}{3m} \right) n$，在平坦极限下退化为标准的二维形式。
• 量子Bohm势和量子惯性力显著改变了柱状波的色散关系，其中 $\widetilde{\Omega}^2$ 项对角动量量子数和 $Z_{m,m+1}^l$ 表现出复杂依赖。
• 该方法成功地从MPQHD推导出非线性薛定谔方程，证明了在弱非线性区域与已知的非线性量子流体动力学的一致性。