[论文解读] Many-server queues with customer abandonment: numerical analysis of their diffusion models

Shuangchi He, J. G. Dai|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2011

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 14被引用 8

一句话总结

本文提出两种多维扩散模型，用于近似具有客户放弃行为的多服务器队列的动力学，采用相型服务时间与一般耐心时间分布。基于参考密度开发了一种数值算法，以计算这些扩散过程的平稳分布，即使在仅有20台服务器的小系统中也表现出极高精度。

ABSTRACT

We use multidimensional diffusion processes to approximate the dynamics of a queue served by many parallel servers. The queue is served in the first-in-first-out (FIFO) order and the customers waiting in queue may abandon the system without service. Two diffusion models are proposed in this paper. They differ in how the patience time distribution is built into them. The first diffusion model uses the patience time density at zero and the second one uses the entire patience time distribution. To analyze these diffusion models, we develop a numerical algorithm for computing the stationary distribution of such a diffusion process. A crucial part of the algorithm is to choose an appropriate reference density. Using a conjecture on the tail behavior of a limit queue length process, we propose a systematic approach to constructing a reference density. With the proposed reference density, the algorithm is shown to converge quickly in numerical experiments. These experiments also show that the diffusion models are good approximations for many-server queues, sometimes for queues with as few as twenty servers.

研究动机与目标

• 通过使用扩散过程改进可扩展性与近似性，对具有客户放弃行为的多服务器队列进行建模与分析。
• 解决在服务时间与耐心时间分布为一般分布（而非仅指数或相型分布）时，缺乏精确解析方法的问题。
• 开发一种数值算法，用于计算模拟队列动态的分段奥恩斯坦-乌伦贝克（Ornstein-Uhlenbeck）扩散过程的平稳分布。
• 通过与仿真结果对比，验证扩散近似的准确性，即使在仅有20台服务器的系统中亦成立。
• 建立一种系统化方法，用于构造参考密度，以确保数值算法的快速收敛。

提出的方法

• 提出两种扩散模型：一种仅使用耐心时间在零处的概率密度，另一种使用完整的耐心时间分布，两者均用于建模服务阶段的客户数量的标度。
• 使用多维分段奥恩斯坦-乌伦贝克（OU）过程，在重载与质量与效率驱动（Quality- and Efficiency-Driven, QED）状态下表示队列动态。
• 应用基本伴随关系（Basic Adjoint Relationship, BAR）来表征扩散过程的平稳分布。
• 引入希尔伯特空间框架，并选择合适的参考密度，以实现平稳密度的数值计算。
• 采用无限维子空间的有限维近似，以求解希尔伯特空间中的正交性条件。
• 通过多项式逼近与网格细化，确保数值解的收敛性，利用插值误差估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 多维扩散过程在多大程度上能准确近似具有客户放弃行为的多服务器队列的动力学？
• RQ2 在构建扩散模型时，仅使用耐心时间在零处的概率密度与使用完整耐心时间分布相比，其影响是什么？
• RQ3 是否可以设计一种数值稳定算法，以高精度计算分段奥恩斯坦-乌伦贝克扩散过程的平稳分布？
• RQ4 所提出的算法收敛速度如何？何种参考密度可确保快速收敛？
• RQ5 当服务器数量较小时（例如20台），扩散模型的准确性在多大程度上仍保持？

主要发现

• 所提出的扩散模型即使在仅有20台服务器的小系统中，也能对具有客户放弃行为的多服务器队列提供高度准确的近似。
• 基于所提参考密度的数值算法在所有测试的数值实验中均表现出快速收敛。
• 通过希尔伯特空间框架与有限维近似，可有效计算分段奥恩斯坦-乌伦贝克扩散过程的平稳分布。
• 基于对极限队列长度过程尾部行为的猜想，系统化地构造参考密度，显著提升了算法的收敛速度。
• 该算法成功计算了缺乏显式闭式解的多维扩散过程的平稳分布。
• 数值结果证实，扩散模型能以高保真度捕捉关键性能指标（如队列长度、放弃概率），验证了其在运筹决策中的适用性。