[论文解读] Many toric ideals generated by quadratic binomials possess no quadratic Gröbner bases

Takayuki Hibi, Kenta Nishiyama+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2013

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文構築した無限個の有限連結単純グラフの族は、二次二項式によって生成されるトーリックイデアルを有するが、二次グレブナー基底を有さない。これは、コーゾュル性が二次グレブナー基底の存在を意味しないことを示している。組合せ的基準とコンピュータ支援の列挙を用いて、8頂点以下のすべてのグラフを分類し、214例を同定した。そのうち213例は非コーゾルであり、残り1例は理論的議論により解明された。

ABSTRACT

Let $G$ be a finite connected simple graph and $I_{G}$ the toric ideal of the edge ring $K[G]$ of $G$. In the present paper, we study finite graphs $G$ with the property that $I_{G}$ is generated by quadratic binomials and $I_{G}$ possesses no quadratic Gröbner basis. First, we give a nontrivial infinite series of finite graphs with the above property. Second, we implement a combinatorial characterization for $I_{G}$ to be generated by quadratic binomials and, by means of the computer search, we classify the finite graphs $G$ with the above property, up to 8 vertices.

研究动机与目标

• 有限連結単純グラフで、トーリックイデアルが二次二項式によって生成されるが、二次グレブナー基底を有さないものを特定すること。
• このようなグラフの非自明な無限族を構成し、コーゾル性が二次グレブナー基底の存在を意味しないことを立証すること。
• 計算的列挙と組合せ的基準を用いて、8頂点以下のすべてのこのようなグラフを分類すること。
• トーリック環 $K[G]$ がコーゾルであるが、そのトーリックイデアル $I_G$ が二次グレブナー基底を有さない例が存在するかどうかという未解決問題を、同定された例を分析することで解明すること。

提出的方法

• 文献[14, 定理1.2]の組合せ的特徴づけを用い、偶数サイクルおよび最小の奇サイクルの構造に基づいて $I_G$ が二次二項式によって生成される条件を特定する。
• nauty を用いて、8頂点以下の同型非同型な連結単純グラフをすべて生成する。
• CyPath を用いて、各グラフにおけるすべての偶数サイクルおよび最小の奇サイクルを列挙し、基準の検証に用いる。
• Risa/Asir を用い、ランダムに選ばれた重みベクトルを用いてグレブナー基底を計算する。各グラフについて10,000回の反復で、二次グレブナー基底を有するグラフを除外する。
• Macaulay2 を用いて $K[G]$ のコーゾル性をテストし、必要に応じて TiGERS/CaTS を用いて完全なグレブナー基底計算を行う。
• 定理2.8 を用いて、不定なケースを解明する。具体的には、7サイクルの補グラフのサスペンションであることを示し、これが二次グレブナー基底を有さないことを示した。

实验结果

研究问题

• RQ1 有限連結単純グラフ $G$ で、$I_G$ が二次二項式によって生成されるが、二次グレブナー基底を有さないものが存在するか？
• RQ2 このようなグラフの無限族を明示的に構成できるか？
• RQ3 8頂点以下のすべてのこのようなグラフの完全な分類は何か？
• RQ4 コーゾルなトーリック環 $K[G]$ で、そのトーリックイデアル $I_G$ が二次グレブナー基底を有さないものが存在するか？

主要发现

• 奇サイクル（長さ $n \geq 5$）の補グラフのサスペンションとして、$(*)$-最小グラフの無限族を構成した。これにより、このようなグラフが存在し、無限個にわたることを証明した。
• 8頂点以下のグラフにおいて、$I_G$ が二次二項式によって生成されるが、二次グレブナー基底を有さないグラフは合計214例存在する。
• そのうち213例は Macaulay2 を用いて非コーゾルであることが確認され、残り1例は定理2.8により、二次グレブナー基底を有さないことが解明された。
• 分類の結果、8頂点のグラフのうち51例が次数1の頂点を有しており、構造的な多様性が示された。
• 研究により、コーゾル性が二次グレブナー基底の存在を意味しないことが確認された。無限族においては、そのような例は見つからなかった。
• 本稿では、8頂点のグラフについて、このようなグラフの完全なリストを http://www2.rikkyo.ac.jp/~ohsugi/minimalexamples/ で提供している。