[论文解读] MAPLE subroutines for computing Milnor and Tyurina numbers of hypersurface singularities with application to Arnol'd adjacencies

Michele Rossi, Lea Terracini|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文提出了一套新颖的 MAPLE 子程序，利用 Mora 算法通过局部单项序计算孤立超曲面奇点的 Milnor 数与 Tyurina 数，从而实现 Kuranishi 空间分层的显式计算。关键贡献在于首次在 MAPLE 中实现了局部单项序，应用于通过代数分层几何实现 Arnol'd 对简单奇点之间邻接关系的构造。

ABSTRACT

In the present paper MAPLE subroutines computing Milnor and Tyurina numbers of an isolated algebraic hypersurface singularity are presented and described in detail. They represents examples, and perhaps the first ones, of a MAPLE implementation of local monomial ordering. As an application, the last section is devoted to writing down equations of algebraic stratifications of Kuranishi spaces of simple Arnol'd singularities: they geometrically represents, by means of inclusions of algebraic subsets, the partial ordering on classes of simple singularities induced by the adjacency relation.

研究动机与目标

• 开发易于使用、用户友好的 MAPLE 子程序，用于计算孤立超曲面奇点的 Milnor 数与 Tyurina 数，而无需掌握专业计算机代数系统。
• 在 MAPLE 中实现此前不支持的局部单项序，使用 Mora 算法计算收敛幂级数环中弱标准形与单项基。
• 为 Arnol'd 简单奇点构造 Kuranishi 空间的显式代数分层，通过代数子集的包含关系几何化表示邻接偏序关系。
• 提供显式的一参变形，实现简单奇点之间特殊邻接关系（如 $D_n \to A_{n-1}$，$E_8 \to D_7$），扩展已知结果。
• 通过强调开放、可访问工具对数学研究的重要性，抗议意大利法律 133/08，该法律威胁到意大利科研的公共资助。

提出的方法

• 通过将局部单项序定义为标准全局单项序（如加权字典序）的逆序，克服在该序下 Buchberger 算法可能不终止的问题，从而在 MAPLE 中实现局部单项序。
• 使用 Mora 算法计算 $\mathbb{C}\{x_1,\dots,x_{n+1}\}$ 中 Milnor 与 Tyurina 理想的弱标准形与单项基，实现在收敛幂级数环中的计算。
• 构建计算 Milnor 数 $\mu$ 与 Tyurina 数 $\tau$ 的过程，其中 $\mu$ 为局部代数 $\mathcal{O}_n / (\partial f / \partial x_i)$ 的维数，$\tau$ 为 $\mathcal{O}_n / (f, \partial f / \partial x_i)$ 的维数。
• 将计算扩展至含参数 $\lambda = (\lambda_1,\dots,\lambda_r)$ 的多项式环，支持在 $(\mathbb{C}[\lambda])[ω]$ 中进行形变理论计算。
• 利用所得单项基，显式写出 Kuranishi 空间中代数分层的方程，参数化小普适形变。
• 将这些子程序应用于推导实现奇点邻接关系的一参变形，如 $E_8 \to D_7$，通过求解来自 Kuranishi 空间结构的方程组。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用广泛可用的计算机代数系统（如 MAPLE）高效计算孤立超曲面奇点的 Milnor 数与 Tyurina 数？
• RQ2 在标准 Gröbner 基算法在局部单项序下可能不终止的背景下，实现局部单项序在 MAPLE 中的可行性与正确性如何？
• RQ3 能否构造 Kuranishi 空间的显式代数分层，以几何方式表示简单奇点之间 Arnol'd 邻接关系的偏序？
• RQ4 哪些显式的一参变形能够实现特殊邻接关系，如 $D_n \to A_{n-1}$，$E_8 \to D_7$，$E_6 \to D_5$？
• RQ5 如何对简单奇点的 Kuranishi 空间进行代数参数化，以支持可控奇点类型转变的形变族的构造？

主要发现

• 作者成功通过 Mora 算法在 MAPLE 中实现了局部单项序，使在 $\mathbb{C}\{x_1,\dots,x_{n+1}\}$ 中计算弱标准形与单项基成为可能，这是此前在 MAPLE 中未实现的功能。
• 子程序在参数化设置下使用 Gröbner 基技术计算孤立超曲面奇点的 Milnor 数 $\mu$ 与 Tyurina 数 $\tau$，计算结果确认了 $\tau \leq \mu$。
• 该方法生成了 Kuranishi 空间中代数分层的显式方程，如 $\mathcal{W}_7 \cap \widetilde{\mathcal{W}}_2^6$，几何编码了简单奇点之间的邻接关系。
• 本文提供了实现 7 种特殊邻接关系的一参变形，包括 $A_{n-1} \leftarrow D_n$（$n \geq 4$），$A_5 \leftarrow E_6$，$D_5 \leftarrow E_6$，$A_6 \leftarrow E_7$，$D_6 \leftarrow E_7$，$A_7 \leftarrow E_8$，$D_7 \leftarrow E_8$，并给出了显式多项式族 $f_t(\mathbf{x})$。
• 对于 $E_8 \to D_7$ 邻接关系，变形 $f_t(\mathbf{x}) = f_0(\mathbf{x}) -27t^4 x_N x_{N+1}^2 + \cdots$ 在一般 $t$ 下产生 $D_7$ 奇点，证实了该邻接关系。
• 该实现对本科生友好，表明即使不掌握 SINGULAR 等专业软件，也能计算复杂的奇点不变量。