[论文解读] Mapping Class Groups do not have Kazhdan's Property (T)

Jørgen Ellegaard Andersen|ArXiv.org|Jun 14, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 37被引用 38

一句话总结

该论文通过构造一个具有几乎不变向量但不具有非平凡不变向量的酉表示，证明了亏格至少为二的闭合定向曲面的映射类群不具有卡兹丹性质(T)。利用雷舍蒂欣-图雷夫拓扑量子场论和模空间上平直SU(2)联络的几何量子化，作者构造了一族有限维表示，其中存在几乎不动向量但无非平凡不动向量，从而否定了性质(T)。

ABSTRACT

We prove that the mapping class group of a closed oriented surface of genus at least two does not have Kazhdan's property (T).

研究动机与目标

• 证明闭合定向曲面（亏格至少为二）的映射类群不具有卡兹丹性质(T)。
• 通过源自拓扑量子场论的酉表示构造性质(T)的反例。
• 展示在酉表示中存在几乎不变向量，而这些向量并非来自非平凡不变向量。
• 建立韦林德丛及其关联的平坦联络提供了一个忠实表示，其中性质(T)不成立。

提出的方法

• 构造曲面 $\Sigma - \{p\}$ 上平直 $SU(2)$ 联络的模空间 $M$，在点 $p$ 处具有 $-\mathrm{Id}$ 的holonomy，并赋予其辛结构。
• 对 $M$ 应用几何量子化，得到在泰希米勒空间 $\mathcal{T}$ 上的 $\mathcal{L}^k$ 的全纯截面的韦林德丛 $\mathcal{V}_k$。
• 利用 $\mathcal{V}_k$ 上的平坦 $\Gamma$-不变联络 $\hat{\nabla}$，在协变常截面上定义映射类群 $\Gamma$ 的酉表示。
• 构造迹为零的自同态丛 $\mathrm{End}_0(\mathcal{V}_k)$，并在 $\mathcal{H}_k$（协变常截面的空间）上定义表示。
• 通过从 $\pi_1(\Sigma - \{p\})$ 到 $SU(2)$ 的有限子群 $\Lambda$ 的同态，构造 $M$ 中的 $\Gamma$-不变有限子集 $X$。
• 从 $X$ 上的点质量构造 $\mathrm{End}(\mathcal{V}_k)$ 的截面 $E_X^{(k)}$，取其迹为零部分 $E_{X,0}^{(k)}$，从而在 $\mathcal{H}_k$ 中定义单位向量 $\mathcal{E}_{X,0}^{(k)}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 闭合定向曲面（亏格≥2）的映射类群是否满足卡兹丹性质(T)？
• RQ2 能否构造一个映射类群的酉表示，使其具有几乎不变向量但无非平凡不变向量？
• RQ3 由雷舍蒂欣-图雷夫TQFT和几何量子化产生的表示是否不满足性质(T)？
• RQ4 通过韦林德丛实现的映射类群表示的渐近忠实性是否足以检测性质(T)的失效？
• RQ5 能否利用 $SU(2)$ 的有限子群的holonomy，构造模空间中一个 $\Gamma$-不变集合，使其支持几乎不动向量？

主要发现

• 通过构造一个具有几乎不变向量但无非平凡不变向量的酉表示，证明了亏格至少为二的闭合定向曲面的映射类群不具有卡兹丹性质(T)。
• 在 $\mathcal{H}_k$ 上的表示是忠实的，这由 [A2] 中的渐近忠实性结果所确立，从而确保了反例的非平凡性。
• 当 $k$ 足够大时，迹为零的自同态 $E_{X,0}^{(k)}$ 的范数远离零，从而保证了归一化向量 $\mathcal{E}_{X,0}^{(k)}$ 的定义良好且非零。
• 对任意 $\phi \in \Gamma$，向量 $\mathcal{E}_{X,0}^{(k)}$ 与其像 $\phi(\mathcal{E}_{X,0}^{(k)})$ 之间的距离以 $\tilde{C}/k$ 为界，表明当 $k \to \infty$ 时该向量几乎是固定的。
• 几乎不动向量 $\mathcal{E}_{X,0}^{(k)}$ 在 $\Gamma$ 作用下不收敛于非平凡不动向量，从而确认了性质(T)的缺失。
• 该构造依赖于holonomy传输的 $O(k^{-1})$ 收敛性以及联络 $\hat{\nabla}$ 的平坦性，这确保了表示在泰希米勒空间上的自洽性。