[论文解读] Mapping degrees of self-maps of simply-connected manifolds

Manuel Amann|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用 6

一句话总结

该论文在每个维度 ≥70 下构造了简单连通、光滑、紧致闭流形，这些流形既为非弹性（仅允许有限多个映射度数），又缺乏反向定向自映射——即不存在任何负度数的自映射。作者利用有理同伦理论与极小模型，证明了这些流形是不可约的（既非非平凡的连通和，也非笛卡尔积），并推广了 Copeland–Shar 的猜想至现实世界。

ABSTRACT

An oriented compact closed manifold is called inflexible if the set of mapping degrees ranging over all continuous self-maps is finite. Inflexible manifolds have become of importance in the theory of functorial semi-norms on homology. Although inflexibility should be a generic property in large dimensions, not many simply-connected examples are known. We show that from a certain dimension on there are infinitely many inflexible manifolds in each dimension. Besides, we prove flexibility for large classes of manifolds and, in particular, as a spin-off, for homogeneous spaces. This is an outcome of a lifting result which also permits to generalise a conjecture of Copeland--Shar to the "real world". Moreover, we then provide examples of simply-connected smooth compact closed manifolds in each dimension from dimension 70 on which have the following properties: They do not admit any self-map which reverses orientation. (For this we consider the lack of orientation reversal in the strongest sense possible, i.e. we prove the non-existence of any self-map of arbitrary negative mapping degree.) Moreover, the manifolds neither split as non-trivial Cartesian products nor as non-trivial connected sums.

研究动机与目标

• 在高维中构造既为非弹性又缺乏反向定向自映射的简单连通、光滑、紧致闭流形。
• 证明此类流形在从 70 开始的每个维度中均存在，以填补已知例子中的空白。
• 证明这些流形是不可约的，即它们不能分解为非平凡的连通和或笛卡尔积。
• 通过利用有理同伦理论推广 Copeland–Shar 的猜想，将映射度的框架拓展至现实世界流形。

提出的方法

• 利用有理同伦理论与交换微分分次代数（CDGA）的极小模型分析映射度数。
• 应用 APL 和 ADR函子，将连续映射与其在微分形式与同调上的诱导映射联系起来。
• 利用 De Rham 定理，将有理映射度数等价于奇异同调度数。
• 通过极小模型的结构证明，任何分解都将迫使有理同伦等价于球面，从而与上同调结构矛盾。
• 应用障碍理论技术，证明某些流形不允许可负度数的自映射。
• 利用体积形式通过度数的偶次幂变换的性质，确保其正性，从而实现无反向定向。

实验结果

研究问题

• RQ1 在高维中是否存在既为非弹性又不具有任何负度数自映射的简单连通流形？
• RQ2 能否构造出在维度 ≥70 下不可约（既非连通和也非笛卡尔积）的此类流形？
• RQ3 能否通过有理同伦方法将 Copeland–Shar 关于映射度的猜想推广至现实世界？
• RQ4 有理上同调结构在阻碍反向定向自映射方面起到何种作用？
• RQ5 CDGA 的极小模型如何反映映射度数的有限性以及负度数映射的缺失？

主要发现

• 对于每个维度 n ≥ 70，均存在简单连通、光滑、紧致闭流形，其不允许可负度数的自映射。
• 这些流形是不可约的：它们不能分解为非平凡的连通和或笛卡尔积。
• 由于极小模型的结构以及无非平凡自同态的存在，映射度集合是有限的（即非弹性）。
• 负度数映射的缺失源于体积形式通过度数的偶次幂变换，从而确保正性。
• 所构造流形的有理同伦型在某些操作下保持不变，从而确保诸如非弹性与无反向定向等关键性质可被继承。
• 通过证明此类流形在光滑范畴中存在且具有强拓扑约束，本研究将 Copeland–Shar 猜想推广至现实世界。