[论文解读] Mapping NP-hard and NP-complete optimisation problems to Quadratic Unconstrained Binary Optimisation problems

Bas Lodewijks|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2019

Advanced Optimization Algorithms Research被引用 14

一句话总结

本文修正了卢卡斯（2014）最初提出的NP难和NP完全问题的错误QUBO公式——特别是团问题及其他问题——识别出变量索引和约束设计中的缺陷。本文提供了具有正确参数约束的修正QUBO公式，并通过为数字划分、图划分、子集和问题以及数值三维匹配问题引入新的QUBO映射，扩展了该框架，确保原始问题与QUBO解之间完全对应。

ABSTRACT

We discuss several mappings from well-known NP-hard problems to Quadratic Unconstrained Binary Optimisation problems which are treated incorrectly by Lucas. We provide counterexamples and correct the mappings. We also extend the body of QUBO formulations of NP-complete and NP-hard optimisation problems by discussing additional problems.

研究动机与目标

• 识别并修正卢卡斯（2014）先前发表的NP难和NP完全问题的错误QUBO映射，特别是团问题的公式。
• 通过修复变量索引和约束设计中的错误，确保QUBO公式准确反映原始优化问题。
• 通过推导出数字划分、图划分、子集和问题及数值三维匹配问题的正确映射，扩展已知QUBO公式的范围。
• 提供严格的参数约束，以保证QUBO解与原始问题的最优解完全对应。
• 通过提供正确且可嵌入的QUBO公式，支持绝热量子优化在实际中的应用，适用于量子退火硬件。

提出的方法

• 通过将 $y_i$ 变量的范围从 $i=2$ 到 $Δ$ 修正为 $i=2$ 到 $Δ+1$，重新构建团问题的QUBO公式，确保最大可能团的大小被正确表示。
• 修订了哈密顿量分量 $H_A$、$H_B$ 和 $H_C$，以正确编码团的大小和边连通性，使用惩罚项来处理约束违反情况。
• 引入一种新的QUBO公式用于数字划分问题，使用二值变量 $x_{i,j}$ 将整数分配至子集，通过惩罚项确保子集和相等且分配无重叠。
• 采用类似的基于惩罚的策略处理划分为 $m$ 个子集的图划分问题，使用 $x_{v,j}$ 将顶点分配至子集，其中 $H_A$ 惩罚多重分配，$H_B$ 强制子集大小相等，$H_C$ 最小化子集间的边数。
• 通过 $H = \left(\sum s_i x_i - t\right)^2$ 提出子集和问题的直接QUBO映射，其中当子集和等于目标值 $t$ 时，最优解出现。
• 通过变量 $x_{i,j}, y_{i,j}, z_{i,j}$ 构建数值三维匹配问题的QUBO公式，其中 $H_A$ 确保完全覆盖，$H_B$ 确保每组三元组的和为 $b$。

实验结果

研究问题

• RQ1 卢卡斯的团问题QUBO公式中存在哪些具体缺陷？这些缺陷如何影响解的正确性？
• RQ2 如何修正团问题的QUBO公式，以确保最大团被唯一且正确地编码？
• RQ3 基于惩罚的QUBO框架能否一致地扩展至其他NP完全和NP难问题，如数字划分和图划分？
• RQ4 为确保QUBO最优解与原始问题最优解完全对应，需要哪些参数约束？
• RQ5 如何为子集和问题及数值三维匹配问题构建QUBO公式，以确保解的精确映射？

主要发现

• 卢卡斯（2014）提出的团问题原始QUBO公式存在错误，其根本原因在于 $y_i$ 变量范围的索引偏移错误，导致无法正确表示大小为 $\Delta+1$ 的团。
• 将 $y_i$ 的范围从 $i=2$ 到 $\Delta$ 修正为 $i=2$ 到 $\Delta+1$，可确保最大团被正确编码，且大小约束被正确强制执行。
• 修正后的团问题QUBO公式满足 $A > \Delta B$，$C < A - \Delta B$，且 $A,B,C > 0$，确保惩罚结构能正确强制实现团的最大化。
• 本文成功推导出使用二值变量和子集和相等性及互斥分配惩罚项的正确QUBO公式，用于数字划分问题。
• 对于划分为 $m$ 个子集的图划分问题，带有 $H_A$、$H_B$ 和 $H_C$ 分量的QUBO公式，在参数约束 $A > B > C \cdot \min(m\Delta, N)/(m(m+2))$ 下，可确保分配互斥、子集大小相等，并最小化子集间边数。
• 子集和问题通过 $H = \left(\sum s_i x_i - t\right)^2$ 正确映射，当且仅当存在一个子集和等于 $t$ 时，该表达式为零，从而确保了解的精确对应。