[论文解读] Mapping Spaces of Gray-Categories

Björn Gohla|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文提出了一种用于Gray范畴的新映射空间构造，这是高阶规范理论和同伦论中的关键结构。通过提升一维结构的余单子化解析并构建函子性路径空间，作者在伪函子的共Kleisli范畴中定义了一个内部同态函子，从而获得一个灵活且可组合的高阶变换框架。其主要贡献在于定义了一个行为良好的内部同态，支持高阶胞腔的完整复合，使得高阶联络的模空间得以建模。

ABSTRACT

We define a mapping space for Gray-enriched categories adapted to higher gauge theory. Our construction differs significantly from the canonical mapping space of enriched categories in that it is much less rigid. The two essential ingredients are a path space construction for Gray-categories and a kind of comonadic resolution of the 1-dimensional structure of a given Gray-category obtained by lifting the resolution of ordinary categories along the canonical fibration of GrayCat over Cat.

研究动机与目标

• 为Gray范畴定义一个支持高阶变换完整复合的映射空间，这对于建模高阶规范理论中3-联络的模空间至关重要。
• 通过使用余单子化解析，引入伪函子的共Kleisli范畴，以克服典型丰富范畴映射空间的刚性。
• 为Gray范畴构建一个函子性路径空间函子，以促进高阶胞腔与变换的内部化。
• 在Gray范畴的共Kleisli范畴中定义一个内部同态函子，确保与高阶一致性数据和复合的一致性。
• 为Gray范畴之间伪函子范畴建立一个张量闭结构的基础。

提出的方法

• 通过Cat上的典范纤维丛，将自由范畴余单子提升至Gray范畴，得到余单子Q1和共Kleisli范畴GrayCatQ1。
• 为Gray范畴构建一个函子性路径空间，该路径空间在GrayCatQ1中成为内部范畴。
• 迭代路径空间构造，构建一个n截断的内部立方体对象，从而得到三重迭代路径空间。
• 将内部Gray范畴定义为三重迭代路径空间的子对象，以捕捉所有必要的高阶胞腔与一致性数据。
• 应用同态函子，为严格Gray函子G与H定义内部映射空间 [G, H] := GrayCatQ1(G, H→→H→→H→→H)。
• 引入扰动与修正作为介于不同变换复合之间的3-胞腔，通过2-上循环确保一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何定义一个支持高阶变换完整复合的Gray范畴映射空间，以克服典型丰富范畴映射空间的局限性？
• RQ2 能否利用Gray范畴1维结构的余单子化解析，来构建一个支持路径空间构造的灵活伪函子范畴？
• RQ3 是否可能在伪函子的共Kleisli范畴中定义一个内部同态函子，以实现高阶变换的内部化并支持复合？
• RQ4 如何以尊重Gray范畴结构的方式编码并复合高阶胞腔的一致性数据——特别是变换之间的修正？
• RQ5 所得到的内部同态能否扩展为Gray范畴之间伪函子范畴上的张量闭结构？

主要发现

• 本文在GrayCatQ1中构建了映射空间 [G, H]，其支持高阶变换的完整复合，解决了先前方法中的关键局限。
• 内部同态函子 [G, H] 定义为 GrayCatQ1(G, H→→H→→H→→H)，其中路径空间构造确保了高阶胞腔的一致性。
• 通过余单子Q1构建的共Kleisli范畴GrayCatQ1，提供了一个灵活的伪函子范畴，支持路径空间与内部范畴的构造。
• 内部Gray范畴 H→→H→→H→→H 被构造为三重迭代路径空间的子对象，编码了所有必要的高阶胞腔与一致性数据。
• 当H为Gray-群范畴时，路径空间H→与映射空间 [G, H] 均继承群范畴结构，保持高阶胞腔的可逆性。
• 该构造确保了变换之间的修正与上循环相容，且通过介于不同正方形复合之间的2-上循环维持一致性。