[论文解读] Mapping stacks and categorical notions of properness

Daniel Halpern-Leistner, Anatoly Preygel|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 6

一句话总结

本文引入了代数堆的正式正规性（formal properness）概念，将经典正规性推广至非正规堆（如全局商堆）的情形。通过建立导出拟相干复形的 h-下降性，并证明在正式正规性条件下映射堆与相干层堆的表示性，作者将关键的代数性结果拓展至经典正规设定之外，尤其在导出代数几何中具有重要意义。

ABSTRACT

One fundamental consequence of a scheme $X$ being proper is that the functor classifying maps from $X$ to any other suitably nice scheme or algebraic stack is representable by an algebraic stack. This result has been generalized by replacing $X$ with a proper algebraic stack. We show, however, that it also holds when $X$ is replaced by many examples of algebraic stacks which are not proper, including many global quotient stacks. This leads us to revisit the definition of properness for stacks. We introduce the notion of a formally proper morphism of stacks and study its properties. We develop methods for establishing formal properness in a large class of examples. Along the way, we prove strong h-descent results which hold in the setting of derived algebraic geometry but not in classical algebraic geometry. Our main applications are algebraicity results for mapping stacks and the stack of coherent sheaves on a flat and formally proper stack.

研究动机与目标

• 将经典结果‘正规概形的映射堆是表示的’推广至非正规代数堆。
• 解决当源堆非正规时映射堆表示性失效的问题，如 $\operatorname{Map}(\mathbf{A}^1, \mathbf{A}^1)$ 的非表示性所体现的那样。
• 提出一种新的范畴论概念——正式正规性，以捕捉导出与等变设定下正规性的本质性质。
• 证明正式正规性蕴含映射堆 $\operatorname{Map}(\mathscr{X}, \mathscr{Y})$ 与 $\mathscr{X}$ 上相干层堆的代数性，即使 $\mathscr{X}$ 非正规。
• 在导出代数几何中建立 $\operatorname{APerf}$、$\operatorname{Perf}$ 与拟几何堆的强 h-下降结果，这些结果在经典设定中不成立。

提出的方法

• 通过 $\operatorname{APerf}(\mathscr{X}) \to \operatorname{APerf}(\widehat{\mathscr{X}})$ 的等价性，定义堆沿余紧闭子集的完备性，进而以该完备性条件定义正式正规性。
• 利用导出形式函数定理，将堆的上同调性质与其形式完备化联系起来。
• 运用导出代数几何技术（尤其在特征零情形）建立 $\operatorname{APerf}$、$\operatorname{Perf}$ 与拟几何堆的 h-下降性。
• 通过存在对角线的完全解析解，证明上同调充分与上同调射影态射是正式正规的。
• 应用 Tannakian 形式化与切触复形技术，分析映射堆与相干层堆的代数性。
• 利用 fppf 局部性与基变换性质，验证上同调维数条件（CD）在基变换与下降下稳定，从而实现下降结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 映射堆的表示性能否从正规概形推广至非正规代数堆？
• RQ2 何种范畴论的正规性概念可推广经典正规性，同时在导出代数几何中保持关键的表示性性质？
• RQ3 在导出设定中如何建立导出拟相干复形的 h-下降性？为何该结果在经典设定中不成立？
• RQ4 在 $\mathscr{X}$ 非正规时，$\mathscr{X}$ 上相干层堆的代数性在何种条件下成立？
• RQ5 正式正规性在多大程度上蕴含 $\operatorname{Map}(\mathscr{X}, \mathscr{Y})$ 与 $\mathscr{X}$ 上相干层堆的代数性？

主要发现

• 通过等价关系 $\operatorname{APerf}(\mathscr{X}) \to \operatorname{APerf}(\widehat{\mathscr{X}})$ 定义的正式正规性，是当 $\mathscr{Y}$ 为拟紧且拟分离时，映射堆 $\operatorname{Map}(\mathscr{X}, \mathscr{Y})$ 代数性的充分条件。
• 在基上平坦且正式正规的堆 $\mathscr{X}$ 上，相干层堆是代数的，将经典结果拓展至非正规情形。
• 上同调射影态射是正式正规的，提供了广泛例子，包括 $\mathbf{A}^1/\mathbf{G}_m$ 等全局商堆。
• 在导出代数几何中，$\operatorname{APerf}$、$\operatorname{Perf}$ 与拟几何堆具有强 h-下降性，而这一结果在经典设定中不成立。
• 在特征零下，具有仿射对角线与有限稳定子的有限型导出堆满足上同调维数条件（CD），该条件对正式正规性至关重要。
• ‘普遍上同调维数至多为 $d$’ 的性质在基上是 fppf 局部的，从而支持下降与基变换下的稳定性。