[论文解读] Maps between higher Bruhat orders and higher Stasheff-Tamari posets

Hugh Thomas|ArXiv.org|Dec 6, 2002

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 9被引用 9

一句话总结

本文提供了更高Bruhat序 $B(n,d)$ 和更高Stasheff-Tamari偏序集 $S_1(n,d)$ 的凸几何描述，证明了Kapranov与Voevodsky构造的从 $B(n,d)$ 到 $S_1([0,n+1],d+1)$ 的映射 $f$ 与Rambau的显式映射一致，且当 $d \leq 2$ 时该映射是满射。此外，本文还构造了一个偏序集嵌入 $g: S_1(n,d) \to B(n-1,d)$，刻画了其像集，并将链接和顶点图等几何结构与组合不变量联系起来。

ABSTRACT

We make explict a description in terms of convex geometry of the higher Bruhat orders B(n,d) sketched by Kapranov and Voevodsky. We give an analogous description of the higher Stasheff-Tamari poset S_1(n,d). We show that the map f sketched by Kapranov and Voevodsky from B(n,d) to S([0,n+1],d+1) coincides with the map constructed by Rambau, and is a surjection for d<=2. We construct a map analogous to f from S_1(n,d) to B(n-1,d), and show that it is always a poset embedding. We also give an explicit criterion to determine if an element of B(n-1,d) is in the image of this map.

研究动机与目标

• 为更高Bruhat序 $B(n,d)$ 和更高Stasheff-Tamari偏序集 $S_1(n,d)$ 提供严格的凸几何解释，扩展Kapranov与Voevodsky的草图。
• 确立Kapranov与Voevodsky描述的从 $B(n,d)$ 到 $S_1([0,n+1],d+1)$ 的映射 $f$ 与Rambau显式构造之间的等价性。
• 证明当 $d \leq 2$ 时映射 $f$ 是满射，解决其像集的一个关键问题。
• 定义并分析一个新的映射 $g: S_1(n,d) \to B(n-1,d)$，证明其为偏序集嵌入，并给出其像集中元素的判定准则。
• 从几何角度解释链接 $\operatorname{lk}_0 \circ f$ 与 $\operatorname{lk}_{\{0,n+1\}} \circ f$，将其与偏序集中的顶点图和组合结构联系起来。

提出的方法

• 将 $B(n,d)$ 显式定义为通过 $n$-维立方体 $[-1,1]^n$ 的 $d$-面的非回溯同伦，其序关系由 3-面的覆盖关系定义。
• 将 $S_1(n,d)$ 定义为通过具有顶点标签 $1$ 到 $n$ 的 $(n-1)$-单纯形的 $d$-面的非回溯同伦，使用逆向细化定义序关系。
• 通过将立方体中的路径提升为单纯形中路径序列，并为相邻路径对关联三角形，构造映射 $f: B(n,d) \to S_1([0,n+1],d+1)$。
• 通过证明两者均满足相同的面关联性和序关系的几何与组合约束，证明 $f$ 与Rambau的映射一致。
• 通过将三角剖分中单纯形链的细化转化为 $\binom{[n-1]}{d}$ 上的可接受序，定义映射 $g: S_1(n,d) \to B(n-1,d)$，并在块内使用矩形序。
• 利用顶点图与链接（如 $\operatorname{lk}_{\{0,n+1\}}(f(\pi))$）来从立方体在 $(1,\dots,1)$ 处的结构解释 $f(\pi)$ 的几何不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 Kapranov与Voevodsky所勾勒的从 $B(n,d)$ 到 $S_1([0,n+1],d+1)$ 的映射 $f$ 是否与Rambau的显式构造一致？
• RQ2 如文献 [KV] 所声称，映射 $f$ 在 $d \leq 2$ 时是否为满射？
• RQ3 能否构造一个偏序集嵌入 $g: S_1(n,d) \to B(n-1,d)$，并且如何判定 $B(n-1,d)$ 中的元素是否属于其像集？
• RQ4 链接 $\operatorname{lk}_0 \circ f$ 与 $\operatorname{lk}_{\{0,n+1\}} \circ f$ 如何与立方体和单纯形中的几何结构相关联？
• RQ5 在 $B(n,d)$ 与 $S_1(n,d)$ 中的区间具有何种同伦类型，且映射 $f$ 与 $g$ 如何影响其序复形？

主要发现

• Kapranov与Voevodsky构造的映射 $f: B(n,d) \to S_1([0,n+1],d+1)$ 与Rambau的显式映射一致，确认了两种方法的一致性。
• 当 $d \leq 2$ 时，映射 $f$ 是满射，为 [KV] 中声称的满射提供了具体实现。
• 映射 $g: S_1(n,d) \to B(n-1,d)$ 是一个偏序集嵌入，且 $B(n-1,d)$ 中的元素属于 $g$ 的像集当且仅当其关联的 $\binom{[n-1]}{d}$ 上的可接受序可由 $C(n,d)$ 的三角剖分中单纯形链的细化得到。
• $\pi \in B(n,d)$ 的链接 $\operatorname{lk}_{\{0,n+1\}}(f(\pi))$ 与 $n$-维立方体中顶点 $(1,\dots,1)$ 处的顶点图完全一致。
• $\operatorname{lk}_0(f(\pi))$ 可几何解释为 $S(n+1,d)$ 中的结构，将单纯形与立方体构造联系起来。
• $g \circ f: B(n,d) \to B(n,d)$ 是两个更高Bruhat序之间的映射，此前未被研究，可能在 $n$-范畴论中有应用价值。