[论文解读] Marcinkiewicz spaces, Garsia-Rodemich spaces and the scale of John-Nirenberg self improving inequalities

Mario Milman|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2015

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 16被引用 12

一句话总结

本文将 Garsia-Rodemich 对一维 Marcinkiewicz $L(p,\infty)$ 空间的表征推广至 $n$-维立方体，给出了 John-Nirenberg 自我改善不等式的全新证明。引入了 $L(p,\infty)$ 和 $L(\infty,\infty)$ 的新型基于分布函数的表征，并将其应用于张量积，补充了 O'Neil 和 Astashkin 关于 $L(\infty,\infty)$-值张量积的研究。

ABSTRACT

We extend to n-dimensions a characterization of the Marcinkiewicz $L(p,\infty)$ spaces first obtained by Garsia-Rodemich in the one dimensional case. This leads to a new proof of the John-Nirenberg self-improving inequalities. We also show a related result that provides a still a new characterization of the $L(p,\infty)$ spaces in terms of distribution functions, reflects the self-improving inequalities directly, and also characterizes $L(\infty,\infty),$ the rearrangement invariant hull of $BMO.$ We show an application to the study of tensor products with $L(\infty,\infty)$ spaces, which complements the classical work of O'Neil \cite{oneil} and the more recent work of Astashkin \cite{astashkin}.

研究动机与目标

• 将 Garsia-Rodemich 对一维 Marcinkiewicz $L(p,\infty)$ 空间的表征推广至 $n$-维立方体。
• 利用该推广表征，给出 John-Nirenberg 自我改善不等式的全新证明。
• 引入一种基于分布函数的新表征方式，用于 $L(p,\infty)$ 和 $L(\infty,\infty)$，直接反映 John-Nirenberg 不等式的自我改善特性。
• 将新表征应用于 $L(\infty,\infty)$ 值张量积的研究，补充经典与近期成果。

提出的方法

• 通过子立方体上的双重积分条件及涉及 $L^{p'}$-范数的可 summability 约束，定义 $n$-维 Garsia-Rodemich 空间 $GaRo_p(Q_0)$。
• 证明在一维情形下 $GaRo_p(I) = L(p,\infty)(I)$，并通过新的重排不等式将其推广至 $n$-维。
• 引入新范数 $\|f\|_{L(p,\infty)}^{\#\#}$，其定义基于条件 $\int_t^\infty \lambda_f(s)ds \leq C t^{1-p}$，并证明其与标准 Marcinkiewicz 范数等价。
• 通过条件 $\|f\|_{L(\infty,\infty)}^{\#\#} = \sup_t \left( \int_t^\infty \lambda_f(s)ds \right)^{1-1/p} \cdot t^{1/p}$（当 $p=\infty$ 时取极限）建立 $L(\infty,\infty)$ 的新表征，使其与分布函数直接关联。
• 利用新范数形式，证明 $L(\infty,\infty)(\Omega_1) \otimes L^\infty(\Omega_2) \subset L(\infty,\infty)(\Omega_1 \times \Omega_2)$，且范数受控。
• 借助 Tonnelli 定理及张量积的已知分布函数公式，推导出该嵌入关系与范数估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不引入维数常数的前提下，将一维 Garsia-Rodemich 对 $L(p,\infty)$ 的表征推广至 $n$-维立方体？
• RQ2 基于分布函数的新范数 $\|f\|_{L(p,\infty)}^{\#\#}$ 是否能直接、自洽地表征 $L(p,\infty)$ 空间？
• RQ3 能否通过一个反映其作为 $BMO$ 重排不变包络角色的分布函数条件来表征 $L(\infty,\infty)$ 空间？
• RQ4 新范数与新表征如何增进对涉及 $L(\infty,\infty)$ 的张量积的理解？
• RQ5 用于证明 $n$-维 Garsia-Rodemich 不等式的技巧，能否被改编以证明更高维下的基本重排不等式？

主要发现

• 本文建立 $GaRo_p(f, Q_0) \leq \frac{p}{p-1}2 \|f\|_{L(p,\infty)(Q_0)}^*$，在 $n$-维情形下建立了 Garsia-Rodemich 空间与 Marcinkiewicz 空间的定量联系。
• 证明了当 $1<p<\infty$ 时 $JN_p(Q_0) \subsetneq GaRo_p(Q_0)$，表明 Garsia-Rodemich 空间严格大于 John-Nirenberg 空间。
• 引入新范数 $\|f\|_{L(p,\infty)}^{\#\#}$，并证明其与标准 Marcinkiewicz 范数等价，且满足 $\|f\|_{L(p,\infty)}^{\#\#} \approx \inf\{C^{1/p} : \int_t^\infty \lambda_f(s)ds \leq C t^{1-p}\}$。
• 通过极限 $p \to \infty$ 下的条件 $\|f\|_{L(\infty,\infty)}^{\#\#} = \sup_t \left( \int_t^\infty \lambda_f(s)ds \right)^{1-1/p} \cdot t^{1/p}$，对 $L(\infty,\infty)$ 进行了新表征，使其与分布函数直接关联。
• 本文证明了 $L(\infty,\infty)(\Omega_1) \otimes L^\infty(\Omega_2) \subset L(\infty,\infty)(\Omega_1 \times \Omega_2)$，且满足 $\|f \otimes g\|_{L(\infty,\infty)}^{\#\#} \leq \|f\|_{L(\infty,\infty)}^{\#\#} \|g\|_{L^\infty}$，扩展了 O'Neil 的经典结果。
• 新表征使得可通过分布函数估计直接证明 John-Nirenberg 不等式，为 $BMO$ 的自我改善性质提供了全新视角。