[论文解读] Marcinkiewicz-Zygmund Strong Law of Large Numbers for Pairwise i.i.d. Random Variables

V. M. Korchevsky|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2014

Probability and Risk Models参考文献 7被引用 3

一句话总结

该论文在 $1 < p < 2$ 且 $\mathbb{E}|X_1|^p < \infty$ 的条件下，建立了成对独立同分布（i.i.d.）随机变量的 Marcinkiewicz–Zygmund 大数定律。通过将经典结果从独立性推广到成对独立性，证明了 $(S_n - \mathbb{E}S_n)/n^{1/p} \to 0$ 几乎必然成立，该结果在更弱的依赖假设下通过矩不等式和截断技术推广了经典定理。

ABSTRACT

It is shown that the Marcinkiewicz-Zygmund strong law of large numbers holds for pairwise independent identically distributed random variables. It is proved that if $X_{1}, X_{2}, \ldots$ are pairwise independent identically distributed random variables such that $E|X_{1}|^p &lt; \infty$ for some $1 &lt; p &lt; 2$, then $(S_{n}-ES_{n})/n^{1/p} o 0$ a.s. where $S_{n} = \sum_{k=1}^{n} X_{k}$.

研究动机与目标

• 将 Marcinkiewicz–Zygmund 大数定律从独立性推广到成对独立同分布（i.i.d.）随机变量。
• 确定在成对独立性下，$\mathbb{E}|X_1|^p < \infty$（$1 < p < 2$）是否蕴含 $(S_n - \mathbb{E}S_n)/n^{1/p}$ 几乎必然收敛。
• 通过证明经典 Marcinkiewicz–Zygmund 定理在更弱的成对独立性假设下依然成立，填补文献中的空白。
• 通过结合 Etemadi、Sawyer 和 Petrov 的结果与本文工作，为成对 i.i.d. 序列提供强 Law of Large Numbers 的统一推广。

提出的方法

• 在水平 $n^{1/p}$ 处对随机变量进行截断，以控制大偏差，并应用矩不等式。
• 利用 Borel–Cantelli 引理证明截断尾部几乎必然消失，依据的是可积性条件 $\mathbb{E}|X_1|^p < \infty$。
• 对截断变量应用矩界，特别是 $\mathbb{E}(|X_i| \mathbb{I}_{\{|X_i| > n^{1/p}\}})$，并证明其归一化和趋于零。
• 采用二进制块方法，将和 $S_n$ 分解为大小为 $2^n$ 的块，并分析每一块内截断部分和的行为。
• 通过截断和块内独立性，利用最大偏差的界，建立归一化中心化和的几乎必然收敛性。
• 将引理 1–3 中关于尾部行为和矩衰减的结果与极大不等式论证相结合，证明归一化和的几乎必然收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $\mathbb{E}|X_1|^p < \infty$（$1 < p < 2$）时，Marcinkiewicz–Zygmund 大数定律是否对成对 i.i.d. 随机变量成立？
• RQ2 经典 Marcinkiewicz–Zygmund 定理中的独立性假设能否弱化为成对独立性，而仍保持几乎必然收敛？
• RQ3 可积性条件 $\mathbb{E}|X_1|^p < \infty$ 在成对独立性下对 $(S_n - \mathbb{E}S_n)/n^{1/p}$ 收敛性起何作用？
• RQ4 截断和分布尾部的矩估计在成对独立情况下如何促进几乎必然收敛性的证明？

主要发现

• 在 $\mathbb{E}|X_1|^p < \infty$（$1 < p < 2$）条件下，Marcinkiewicz–Zygmund 大数定律对成对 i.i.d. 随机变量成立。
• 即使随机变量仅为成对独立，归一化中心化和 $ (S_n - \mathbb{E}S_n)/n^{1/p} \to 0 $ 几乎必然成立。
• 证明依赖于在 $n^{1/p}$ 处对随机变量进行截断，并利用 Borel–Cantelli 引理证明尾部贡献几乎必然消失。
• 截断变量的期望满足 $ \frac{1}{n^{1/p}} \sum_{i=1}^n \mathbb{E}[|X_i| \mathbb{I}_{\{|X_i| > n^{1/p}\}}] \to 0 $，当 $n \to \infty$ 时。
• 在二进制块上，截断变量的方差和为有限，通过极大不等式论证可确保块和的几乎必然收敛。
• 该结果将定理 A（Marcinkiewicz–Zygmund）推广至成对 i.i.d. 情况，完成了在成对独立性下对 $0 < p < 2$ 的统一强律。