[论文解读] Marginalizing the likelihood function for modeled gravitational wave searches

Sanjeev Dhurandhar, B. Krishnan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2017

Pulsars and Gravitational Waves Research参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文提出了一种解析方法，通过使用旋转群矩阵元将四个外在引力波参数——振幅、初始相位、偏振角和倾角——重述为复振幅，从而对似然函数进行边际化。关键贡献是在信噪比高的情况下，对B统计量给出了闭式近似，实现了对瞬态双星并合与中子星连续引力波信号的高效贝叶斯检测。

ABSTRACT

Matched filtering is a commonly used technique in gravitational wave searches for signals from compact binary systems and from rapidly rotating neutron stars. A common issue in these searches is dealing with four extrinsic parameters which do not affect the phase evolution of the system: the overall amplitude, initial phase, and two angles determining the overall orientation of the system. The F-statistic maximizes the likelihood function analytically over these parameters, while the B-statistic marginalizes over them. The B-statistic, while potentially more powerful and capable of incorporating astrophysical priors, is not as widely used because of the computational difficulty of performing the marginalization. In this paper we address this difficulty and show how the marginalization can be done analytically by combining the four parameters into a set of complex amplitudes. The results of this paper are applicable to both transient non-precessing binary coalescence events, and to long lived signals from rapidly rotating neutron stars.

研究动机与目标

• 解决在贝叶斯检测中对四个外在引力波参数（A, ϕ₀, ψ, ι）进行边际化所面临的计算挑战。
• 通过使用旋转群矩阵元 Tℓmn 重述干扰参数，克服B统计量积分的不可计算性。
• 为B统计量开发一种高信噪比近似，使对瞬态与连续引力波信号的实用贝叶斯搜索成为可能。
• 提供一个统一框架，适用于紧凑双星并合与快速旋转中子星产生的长时标信号。
• 在保持计算可行性的同时，通过解析边际化实现对天体物理先验的使用。

提出的方法

• 利用S³上的霍普夫坐标，将四个外在参数（A, ϕ₀, ψ, ι）重述为复振幅，参数化旋转变换群SU(2)。
• 以这些复振幅表示似然函数，将边际化积分转化为适合渐近分析的形式。
• 应用最陡下降法近似B统计量的高信噪比极限，导出包含数据向量Y与噪声加权内积的闭式表达式。
• 推导出B统计量的两个不同解析表达式：一个适用于信号非纯圆偏振的情况（式104），另一个适用于某一振幅分量消失的奇异情况（式111）。
• 利用所得表达式消除对干扰参数进行数值积分的需要，显著降低计算成本。
• 通过验证：在非奇异情况下，指数因子与对数据向量 B̂ 的依赖关系与F统计量一致；而在奇异情况下，该方法通过使用不同的解析表达式（式111）避免了物理上的发散。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能够对四个外在引力波参数的似然函数进行解析边际化，以实现高效的贝叶斯检测？
• RQ2 在不依赖计算成本高昂的数值积分的前提下，如何在高信噪比条件下对B统计量进行近似？
• RQ3 当某一复振幅分量消失时（例如纯圆偏振信号），B统计量的行为如何？
• RQ4 尽管当前限制于主导模态波形，该形式化方法是否可扩展至处理非摄动系统中的高阶模态或摄动双星系统？
• RQ5 当引入天体物理先验时，与标准F统计量相比，该方法在检测能力与计算效率方面表现如何？

主要发现

• 本文在高信噪比极限下导出了B统计量的闭式近似，适用于瞬态双星并合与连续引力波信号。
• B统计量以数据向量Y与噪声加权内积  B̂†N B̂ 表示，其函数形式在非奇异情况下与F统计量的指数依赖关系一致。
• 对于奇异情况（如纯圆偏振信号），该方法通过使用不同的解析表达式（式111）避免了物理发散，其中包含因子 (ζ² − k²)^1/4 以正则化奇点。
• 所得B统计量计算上可行，且可结合对振幅与取向的天体物理先验，从而在检测能力上优于F统计量。
• 当先验与真实自然分布一致时，该方法与Neyman-Pearson最优检测准则一致。
• 通过增加振幅参数的数量，该形式化自然扩展至高阶模态与摄动系统，贝叶斯框架可容纳参数失配。