[论文解读] Markov branching processes with disasters: extinction, survival and duality to p-jump processes

Felix Hermann, Peter Pfaffelhuber|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 32被引用 3

一句话总结

本文建立了具有二项灾难的马尔可夫分支过程与p-跳跃过程之间的对偶性——即在[0,1]上具有乘法跳跃因子p的连续时间半鞅过程。利用该对偶性及p-跳跃过程的极限定理，作者推导出在灾难发生的时间齐次与非时齐分支过程中灭绝与存活概率的精确渐近表达式，揭示了衰减速率的相变现象，以及几乎必然灭绝或存活的条件。

ABSTRACT

A $p$-jump process is a piecewise deterministic Markov process with jumps by a factor of $p$. We prove a limit theorem for such processes on the unit interval. Via duality with respect to probability generating functions, we deduce limiting results for the survival probabilities of time-homogeneous branching processes with arbitrary offspring distributions, underlying binomial disasters. Extending this method, we obtain corresponding results for time-inhomogeneous birth-death processes underlying time-dependent binomial disasters and continuous state branching processes with $p$-jumps.

研究动机与目标

• 分析受灾难影响的马尔可夫分支过程在长时间尺度下的行为，其中每次灾难后每个个体以概率p存活。
• 通过引入时变速率与连续状态分支过程，扩展现有灭绝与存活概率结果。
• 利用概率母函数建立对偶框架，将p-跳跃过程的性质转化为分支过程的结果。
• 在一般后代分布与灾难动态下，推导出存活与灭绝概率的精确渐近表达式。
• 根据分支、灾难与存活参数之间的相互作用，刻画存活概率衰减速率的相变特征。

提出的方法

• 将p-跳跃过程定义为[0,1]上的逐段确定性马尔可夫过程，其中在灾难时刻以因子p发生跳跃。
• 通过概率母函数建立分支过程与p-跳跃过程之间的对偶性，将分支过程的母函数与随机微分方程的解联系起来。
• 推导出对偶过程的关键SDE：$ \dot{X} = -\lambda(X - h(X)) $，并修改为在灾难率$ \kappa $下以因子p发生跳跃。
• 利用泊松过程的大偏差理论（来自Dembo与Zeitouni, 1998）分析累积跳跃强度与存活概率的尾部行为。
• 在跳跃率与分支强度满足凹性与增长条件时，应用p-跳跃过程的极限定理。
• 利用对偶关系$ \mathbb{E}[x^{Z_t} \mid Z_0 = z] = X_t^z $，将$ X_t $的收敛性转化为$ Z_t $的灭绝/存活概率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有任意后代分布的时间齐次分支过程中，带有二项灾难的存活概率的渐近行为是什么？
• RQ2 时变的分支与灾难速率如何影响种群的长期存活或灭绝？
• RQ3 在何种条件下分支过程在灾难影响下会几乎必然灭绝或不灭绝？存活概率的衰减速率如何变化？
• RQ4 p-跳跃过程与分支过程之间的对偶性能否推广至具有灾难的连续状态分支过程？
• RQ5 在给定灾难时间历史的条件下，存活概率的精确收敛速率是什么？

主要发现

• 在时间齐次分支过程中，存活概率呈指数衰减，且衰减速率表现出相变现象，取决于分支、灾难与存活参数之间的平衡。
• 若积分$ \int_0^t \log(1/p_s) \kappa_s \, ds $的增长速度快于分支速率，则灭绝是几乎必然的；否则，存活概率为正。
• 在时变情况下，给定灾难时间的存活概率收敛于由对偶p-跳跃过程决定的极限，收敛速率可表示为$ \log \mathbb{P}(Z_t > 0 \mid \mathcal{D}_\infty) \sim \max\{ -L_t, \log \int_0^t e^{-L_s} b_s \, ds \} / h(t) $。
• 当累积漂移$ \ell(t) = \int_0^t (b_s - d_s - \kappa_s \log(1/p_s)) \, ds $收敛于常数时，过程几乎必然仅有有限次出生，并收敛于非退化的极限分布。
• 对于具有灾难的连续状态分支过程，灭绝概率可通过相同对偶性刻画，其极限行为取决于对偶过程的渐近增长特性。
• 当积分$ \int_0^t e^{-L_s} b_s \, ds $发散时，存活概率的衰减慢于指数衰减；而该积分收敛则意味着更快的衰减或以概率1灭绝。