[论文解读] Markov convexity and nonembeddability of the Heisenberg group

Sean Li|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文证明了连续无限维海森堡群 $\bbH_\f$ 是马尔可夫 4-凸的，且对任意 $p<4$ 均非马尔可夫 $p$-凸的，从而为海森堡群无法双利普希茨嵌入欧几里得空间提供了新的度量证明。关键结果源于构造了 Laakso 图 $G_n$ 到 $\bbH_\f$ 的显式嵌入，其畸变为 $O(n^{1/4}\sqrt{\log n})$，进而给出了离散海森堡群球在马尔可夫 $p$-凸空间中嵌入时畸变的定量下界。

ABSTRACT

We compute the Markov convexity invariant of the continuous infinite dimensional Heisenberg group $\mathbb{H}_\infty$ to show that it is Markov 4-convex and cannot be Markov $p$-convex for any $p &lt; 4$. As Markov convexity is a biLipschitz invariant and Hilbert space is Markov 2-convex, this gives a different proof of the classical theorem of Pansu and Semmes that the Heisenberg group does not admit a biLipschitz embedding into any Euclidean space. The Markov convexity lower bound will follow from exhibiting an explicit embedding of Laakso graphs $G_n$ into $\mathbb{H}_\infty$ that has distortion at most $C n^{1/4} \sqrt{\log n}$. We use this to show that if $X$ is a Markov $p$-convex metric space, then balls of the discrete Heisenberg group $\mathbb{H}(\mathbb{Z})$ of radius $n$ embed into $X$ with distortion at least some constant multiple of $$\frac{(\log n)^{\frac{1}{p}-\frac{1}{4}}}{\sqrt{\log \log n}}.$$ Finally, we show that Markov 4-convexity does not give the optimal distortion for embeddings of binary trees $B_m$ into $\mathbb{H}_\infty$ by showing that the distortion is on the order of $\sqrt{\log m}$.

研究动机与目标

• 建立连续无限维海森堡群 $\bbH_\f$ 的马尔可夫 4-凸性。
• 证明三维海森堡群 $\bbH_1$（因此 $\bbH_\f$）对任意 $p<4$ 均非马尔可夫 $p$-凸的。
• 利用马尔可夫凸性，为海森堡群经典地无法双利普希茨嵌入欧几里得空间提供新的度量证明。
• 推导出离散海森堡群球嵌入马尔可夫 $p$-凸度量空间时双利普希茨畸变的定量下界。
• 探究马尔可夫 4-凸性是否为二叉树嵌入 $\bbH_\f$ 时的最优畸变界。

提出的方法

• 构造 Laakso 图 $G_n$ 到 $\bbH_\f$ 的显式双利普希茨嵌入，其畸变不超过 $Cn^{1/4}\sqrt{\log n}$。
• 利用 Laakso 图嵌入的畸变，推导出 $\bbH_\f$ 的马尔可夫 $p$-凸性常数的下界。
• 应用马尔可夫凸性理论及其在双利普希茨映射下的不变性，将 $\bbH_\f$ 的几何性质与欧几里得空间的几何性质联系起来。
• 在二叉树的子树上使用着色论证，识别出畸变受控的 $\rho$-叉配置。
• 应用引理 3.10 控制嵌入下图像点的中心坐标，当假设畸变较低时导致矛盾。
• 利用映射的非压缩性以及海森堡群的卡诺-卡拉西奥多里度量结构，推导出距离估计中的矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 连续无限维海森堡群 $\bbH_\f$ 是否为马尔可夫 4-凸的？
• RQ2 $\bbH_1$ 是否对任意 $p<4$ 均为马尔可夫 $p$-凸的？
• RQ3 马尔可夫 4-凸性是否意味着二叉树嵌入 $\bbH_\f$ 时的最优畸变界？
• RQ4 离散海森堡群球嵌入马尔可夫 $p$-凸度量空间时，双利普希茨畸变的定量下界是什么？
• RQ5 能否利用马尔可夫凸性重新证明海森堡群无法嵌入欧几里得空间？

主要发现

• 连续无限维海森堡群 $\bbH_\f$ 是马尔可夫 4-凸的。
• $\bbH_1$（因此 $\bbH_\f$）对任意 $p<4$ 均非马尔可夫 $p$-凸的，表明马尔可夫 4-凸性是紧确的。
• Laakso 图 $G_n$ 到 $\bbH_\f$ 的显式嵌入畸变不超过 $Cn^{1/4}\sqrt{\log n}$，其中 $C>0$ 为某绝对常数。
• 该嵌入给出了离散海森堡群球在马尔可夫 $p$-凸度量空间中嵌入时双利普希茨畸变的定量下界。
• 马尔可夫 4-凸性并未给出二叉树 $B_m$ 嵌入 $\bbH_\f$ 时的最优畸变界；实际畸变量级为 $\sqrt{\log m}$。
• 通过假设存在一个低畸变的非压缩映射从二叉树到 $\bbH_\f$，利用 $\rho$-叉配置并借助引理 3.10 控制中心坐标，导出了矛盾。