[论文解读] Markov Logic in Infinite Domains

Parag Singla, Pedro Domingos|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2012

Bayesian Modeling and Causal Inference参考文献 25被引用 50

一句话总结

本文通过将马尔可夫逻辑网络（MLNs）在吉布斯测度理论中进行展开，将其扩展至无限域，证明当每个实例化原子具有有限数量的邻居时，MLNs 可以拥有有效的吉布斯测度。其主要贡献在于在有界权重条件下，证明了此类测度的存在性与唯一性，从而实现了在无限一阶结构上进行概率推理，同时保持了逻辑表达能力与概率一致性。

ABSTRACT

Combining first-order logic and probability has long been a goal of AI. Markov logic (Richardson & Domingos, 2006) accomplishes this by attaching weights to first-order formulas and viewing them as templates for features of Markov networks. Unfortunately, it does not have the full power of first-order logic, because it is only defined for finite domains. This paper extends Markov logic to infinite domains, by casting it in the framework of Gibbs measures (Georgii, 1988). We show that a Markov logic network (MLN) admits a Gibbs measure as long as each ground atom has a finite number of neighbors. Many interesting cases fall in this category. We also show that an MLN admits a unique measure if the weights of its non-unit clauses are small enough. We then examine the structure of the set of consistent measures in the non-unique case. Many important phenomena, including systems with phase transitions, are represented by MLNs with non-unique measures. We relate the problem of satisfiability in first-order logic to the properties of MLN measures, and discuss how Markov logic relates to previous infinite models.

研究动机与目标

• 为解决马尔可夫逻辑网络（MLNs）在有限域中的局限性，将其扩展至无限域。
• 基于统计力学原理，为在无限一阶结构上进行概率推理建立理论基础。
• 研究MLNs在无限设定下可接受有效吉布斯测度的条件。
• 分析当唯一性不成立时一致测度的结构，特别是具有相变的系统。
• 将一阶逻辑可满足性与无限域中MLN测度的性质联系起来。

提出的方法

• 将马尔可夫逻辑置于统计力学中的吉布斯测度框架下，以处理无限域。
• 基于每个实例化原子的邻域有限性，定义MLN存在吉布斯测度的条件。
• 证明若非单位文字权重足够小，则MLN存在唯一的吉布斯测度。
• 使用多布拉辛唯一性准则，建立测度唯一性的条件。
• 分析非唯一情况下的所有一致测度集合，特别是具有相变的系统。
• 将一阶逻辑中的可满足性与无限MLN中测度的存在性及性质联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，马尔可夫逻辑网络在无限域中可接受吉布斯测度？
• RQ2 在无限域中，MLN的吉布斯测度在何种情况下是唯一的？
• RQ3 统计力学中的相变如何与无限MLN中一致测度的结构相关联？
• RQ4 一阶逻辑可满足性与无限MLN中一致测度的存在性之间存在何种联系？
• RQ5 吉布斯测度框架如何扩展马尔可夫逻辑在无限一阶结构中的适用性？

主要发现

• 若每个实例化原子具有有限数量的邻居，则MLN可接受吉布斯测度，该条件在许多实际和理论有趣的场景中成立。
• 若所有非单位文字的权重足够小，则MLN可接受唯一的吉布斯测度，从而确保概率推理的稳定性。
• 在测度不唯一的情况下，一致测度的集合可能表现出复杂结构，包括相变。
• 该框架允许在无限一阶域上进行概率推理，同时保持逻辑表达能力与概率一致性。
• 本文建立了形式化联系，将一阶逻辑可满足性与无限MLN中一致测度的存在性联系起来，丰富了马尔可夫逻辑的理论基础。