[论文解读] Markov trace on a tower of affine Temperley-Lieb algebras of type $ ilde{A_{n}}$

Sadek Al Harbat|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文证明了在类型 $\tilde{A}_n$ 的仿射 Temperley-Lieb 代数塔上存在且唯一存在一个马尔可夫迹，该迹通过从有限型 $A_n$ Temperley-Lieb 代数上提升经典马尔可夫迹而构造。该迹用于定义仿射定向链环的琼斯型不变量，将琼斯多项式推广至在实心环面上且绕心轴缠绕数平衡的链环。

ABSTRACT

We define a tower of affine Temperley-Lieb algebras of type $ ilde{A_{n}}$. We prove that there exists a unique Markov trace on this tower, this trace comes from the Markov-Ocneanu-Jones trace on the tower of Temperley-Lieb algebras of type $A_{n}$.

研究动机与目标

• 定义类型 $\tilde{A}_n$ 的仿射 Temperley-Lieb 代数的塔。
• 将有限型 $A_n$ Temperley-Lieb 代数上的经典马尔可夫迹扩展到仿射情形。
• 在仿射塔上建立唯一的马尔可夫迹，确保其与有限型迹的一致性。
• 通过迹定义仿射定向链环的不变量，推广琼斯多项式。
• 证明迹由其在马尔可夫元素及初始分量上的取值唯一确定。

提出的方法

• 利用仿射 Weyl 群 $W(\tilde{A}_n)$ 中的完全交换元素构造仿射 Temperley-Lieb 代数塔 $\tilde{TL}_n(q)$。
• 尽管 $W(\tilde{A}_n)$ 不是 $W(\tilde{A}_{n+1})$ 的抛物子群，仍定义相邻代数之间的同态 $F_n: \tilde{TL}_n(q) \to \tilde{TL}_{n+1}(q)$。
• 将 $\tilde{TL}_{n+1}(q)$ 中的马尔可夫元素定义为 $F_n(\tilde{TL}_n(q))$ 或 $F_n(\tilde{TL}_n(q))g_{\rho_n}F_n(\tilde{TL}_n(q))$ 中的元素，其中 $g_{\rho_n}$ 对应一个 Coxeter 生成元。
• 利用文献 [1] 中对 $\tilde{A}_n$ 仿射 Weyl 群中完全交换元素的分类，证明 $\tilde{TL}_{n+1}(q)$ 上的任意迹均由其在马尔可夫元素上的取值唯一确定（定理 4.6）。
• 通过从 $\tilde{TL}_n(q)$ 到 $TL_n(q)$ 的满射，将有限型 $A_n$ 塔上的标准马尔可夫迹上提到仿射塔，证明其满足仿射马尔可夫条件。
• 通过证明任意仿射马尔可夫迹的前三个分量必须与上提迹一致，并利用定理 4.6 递推扩展，从而确立唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在类型 $\tilde{A}_n$ 的仿射 Temperley-Lieb 代数塔上是否存在马尔可夫迹？
• RQ2 考虑到仿射代数的无限维性质，这样的马尔可夫迹是否唯一？
• RQ3 有限型 $A_n$ Temperley-Lieb 代数上的经典马尔可夫迹能否以一致的方式扩展到仿射情形？
• RQ4 如何确定 $\tilde{TL}_n(q)$ 上的迹？它们能否由特定类元素上的取值完全表征？
• RQ5 该迹能否用于定义仿射定向链环的不变量，从而推广琼斯多项式？

主要发现

• 在类型 $\tilde{A}_n$ 的仿射 Temperley-Lieb 代数塔上存在唯一的马尔可夫迹，记为 $(\rho_i)_{i \to \tilde{A}_n}$，如定理 5.5 所证。
• 迹由其在 $\tilde{TL}_{n+1}(q)$ 中马尔可夫元素上的取值唯一确定，如定理 4.6 所证，该结果依赖于 $\tilde{A}_n$ 中完全交换元素的分类。
• 仿射马尔可夫迹被构造为通过从 $\tilde{TL}_n(q)$ 到 $TL_n(q)$ 的满射，将有限型 $A_n$ 塔上的经典马尔可夫迹拉回。
• 任意仿射马尔可夫迹的前三个分量被唯一固定以匹配上提迹，如推论 5.4 所示。
• 迹在 Dynkin 自同构下保持不变，这对构造的一致性起着关键作用。
• 迹为仿射定向链环（即在实心环面上绕核心具有相等正负缠绕数的链环）定义了类似琼斯的不变量。