[论文解读] Markov traces on the Birman-Wenzl-Murakami algebras

Iván Marín, Emmanuel Wagner|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用 8

一句话总结

本文通过引入一个统一量子正交/辛对偶性下出现的两种BMW代数变体的通用覆盖代数，对通过Birman-Wenzl-Murakami（BMW）代数的马尔可夫迹进行了分类。证明了在 $ q = -1 $ 处，Iwahori-Hecke代数的中心扩张上存在一种奇异的 $ \mathbb{Q} $-值马尔可夫迹，并在特殊参数值下识别出Temperley-Lieb子代数上可能存在两个额外的迹，其中一个已被证明，另一个为猜想。

ABSTRACT

We classify the Markov traces factoring through the Birman-Wenzl-Murakami (BMW) algebras. For this purpose, we define a common `cover' for the two variations of the BMW-algebra originating from the quantum orthogonal/symplectic duality, which are responsible for the so-called `Dubrovnik' variation of the Kauffman polynomial. For generic values of the defining parameters of the BMW algebra, this cover is isomorphic to the BMW algebra itself, and this fact provides a shorter defining relation for it, in the generic case. For a certain 1-dimensional family of special values however, it is a non-trivial central extension of the BMW-algebra which induces a central extension of the Temperley-Lieb algebra. Inside this 1-dimensional family, exactly two values provide possibly additional Q-valued Markov traces. We describe both of these potential traces on the (extended) Temperley-Lieb subalgebra. While we only conjecture the existence of one of them, we prove the existence of the other by introducing a central extension of the Iwahori-Hecke algebra at q=-1 for an arbitrary Coxeter system, and by proving that this extension indeed admits an exotic Markov trace. These constructions provide several natural non-vanishing Hochschild cohomology classes on these classical algebras.

研究动机与目标

• 对所有通过Birman-Wenzl-Murakami代数的马尔可夫迹进行分类。
• 解决由Dubrovnik与标准Kauffman多项式变体引起的BMW代数定义中的歧义。
• 构造一个通用覆盖代数，统一两种与Dubrovnik和标准Kauffman多项式相关的BMW代数变体，并在一般情况下提供更短的定义关系。
• 研究除标准Jones迹和Kauffman迹之外，是否存在额外的 $ \mathbb{Q} $-值马尔可夫迹。
• 探讨中心扩张在生成新纽结不变量和非零Hochschild上同调类中的作用。

提出的方法

• 引入一个通用覆盖代数 $ \tilde{BMW}_n $，它同态映射到两种BMW代数变体，统一Dubrovnik与标准情形。
• 证明在一般参数下，$ \tilde{BMW}_n $ 同构于BMW代数，从而得到更短的定义关系。
• 在特殊参数值下，特别是当 $ y = a^2 = 1 $ 时，构造BMW代数的中心扩张 $ F_n $，从而诱导出Temperley-Lieb代数的中心扩张。
• 通过指定基元素上的取值，在扩展的Temperley-Lieb代数上定义一个新的马尔可夫迹，并通过归纳关系证明其一致性。
• 证明在任意Coxeter系统的下，$ q = -1 $ 处，Iwahori-Hecke代数的中心扩张上存在一个奇异的马尔可夫迹。
• 利用该迹构造新的纽结不变量，并计算其在最多10个交叉点的纽结和链环上的取值，与已知多项式进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 除了标准的Jones迹和Kauffman迹之外，BMW代数上是否存在其他马尔可夫迹？
• RQ2 统一与Dubrovnik和标准Kauffman多项式相关的两种BMW代数变体的通用覆盖代数的结构是什么？
• RQ3 在特殊参数值下，BMW代数是否存在非平凡的中心扩张？若存在，它是否支持额外的马尔可夫迹？
• RQ4 能否在 $ q = -1 $ 处，Iwahori-Hecke代数的中心扩张上构造出一个奇异的 $ \mathbb{Q} $-值马尔可夫迹？
• RQ5 由这些迹导出的新不变量是否能区分Homfly或Kauffman多项式无法区分的纽结？

主要发现

• 构造了一个通用覆盖代数 $ \tilde{BMW}_n $，在一般参数下同构于BMW代数，提供了更短的定义关系。
• 在特殊值 $ y = a^2 = 1 $ 处，覆盖代数 $ F_n $ 是BMW代数的非平凡中心扩张，诱导出Temperley-Lieb代数的中心扩张。
• 证明了在 $ q = -1 $ 处，Iwahori-Hecke代数的中心扩张上存在一个奇异的 $ \mathbb{Q} $-值马尔可夫迹，从而提供了一个新的不变量。
• 在 $ y = a^2 = 1 $ 处，推测在扩展的Temperley-Lieb代数上存在另一个 $ \mathbb{Q} $-值马尔可夫迹，但尚未得到证明。
• 新不变量能够区分某些具有相同Homfly和Kauffman多项式的纽结，例如 $ 11_{280} $ 和 $ 11_{439} $，其取值分别为 $ 85 $ 和 $ 82 $（$ x = a $）以及 $ 22176 $ 和 $ 22048 $（$ x = 2a $）。
• 这些不变量无法区分Kanenobu的四个3-辫纽结，它们在相同多项式下取值相同，分别为 $ 84 $（$ x = a $）和 $ 734157650613659985 $（$ x = 2a $），提示其可能依赖于HOMFLY多项式。