[论文解读] Markovian properties of continuous group actions: algebraic actions, entropy and the homoclinic group

Sebastián Barbieri, Felipe García‐Ramos+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 87被引用 6

一句话总结

本文引入了马尔可夫性质——具体而言是拓扑马尔可夫性质（TMP）和强TMP——用于紧致度量空间上的连续群作用，统一了关于代数作用、熵和同调群的结果。证明了满足某些环论或群论条件（例如诺特性群环或具有有界有限子群的强阿蒂亚猜想）的可约群的展开代数作用满足强TMP，这表明当且仅当同调群非平凡时，拓扑熵为正；当且仅当同调群在空间中稠密时，熵完全正。

ABSTRACT

We provide a unifying approach which links results on algebraic actions by Lind and Schmidt, Chung and Li, and a topological result by Meyerovitch that relates entropy to the set of asymptotic pairs. In order to do this we introduce a series of Markovian properties and, under the assumption that they are satisfied, we prove several results that relate topological entropy and asymptotic pairs (the homoclinic group in the algebraic case). As new applications of our method, we give a characterization of the homoclinic group of any finitely presented expansive algebraic action of (1) any elementary amenable group with an upper bound on the orders of finite subgroups or (2) any left orderable amenable group, using the language of independence entropy pairs.

研究动机与目标

• 通过马尔可夫性质的统一框架，整合代数作用、熵与渐近对的零散结果。
• 建立可约群的展开代数作用满足强拓扑马尔可夫性质（强TMP）的条件。
• 以同调群为基准，刻画拓扑熵与熵的完全正性。
• 将已知的关于熵与渐近对的结果推广至具有有界有限子群或左序结构的一般可约群。

提出的方法

• 将拓扑马尔可夫性质（TMP）与强TMP引入为符号动力学中马尔可夫性质在紧致度量空间上群作用的推广。
• 通过有限子集上轨道逼近的统一控制来定义TMP，确保边界区域上的局部数据可确定全局行为（允许误差）。
• 证明具有伪轨道追踪性质（POTP）的作用满足强TMP，且强TMP蕴含TMP。
• 利用强TMP关联独立熵对与渐近对，特别是在展开作用中。
• 将该框架应用于代数作用，通过分析庞特里亚金对偶作为ZG-模，并利用冯·诺伊曼维数与强阿蒂亚猜想。
• 证明在诸如左诺特性群环或具有强阿蒂亚猜想的有界有限子群等条件下，强TMP成立，从而实现熵的刻画。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于可数可约群G与代数作用G↷X，满足何种条件时，该作用满足强拓扑马尔可夫性质（强TMP）？
• RQ2 强TMP与展开代数作用的拓扑熵之间有何关系？
• RQ3 同调群Δ(X,G)的非平凡性与拓扑熵的正性之间存在何种精确关系？
• RQ4 同调群Δ(X,G)在X中稠密的条件是什么？这与熵的完全正性有何关联？
• RQ5 马尔可夫性质的框架能否用于刻画一般可约群的熵，以独立熵对与渐近对为基准？

主要发现

• 若G↷X是可数无限可约群的展开代数作用，且满足以下任一条件：(1) ZG为左诺特性环，或(2) G满足强阿蒂亚猜想、具有有界有限子群，且X的对偶模为有限表示，则G↷X满足强TMP。
• 在强TMP下，G↷X的拓扑熵为正，当且仅当同调群Δ(X,G)非平凡。
• 该作用具有完全正熵，当且仅当同调群Δ(X,G)在X中稠密。
• 对于具有强TMP的极小展开作用，拓扑熵为零，推广了此前对Z^d与软群的结果。
• 本文提供了对任意有限表示的展开代数作用的同调群的刻画，适用于：(1) 具有有界有限子群的初等可约群，或(2) 任意左序可约群，基于独立熵对。
• 强TMP使得熵与渐近结构的处理实现统一，将拓扑动力系统与代数与分析不变量（如冯·诺伊曼维数与阿蒂亚猜想）联系起来。