[论文解读] Martin-L\"of Complexes

Steve Awodey, Pieter Hofstra+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文引入了马丁-吕夫复合体（Martin-Löf complexes），作为在反射性圆柱集上关于自由生成符合内涵性马丁-吕夫类型理论的胞射的单子代数。关键结果是在1-截断的马丁-吕夫复合体上建立了一个由胞射生成的奎伦模型结构，该结构与群范畴奎伦等价，从而确立了其作为同伦1-型的模型。

ABSTRACT

In this paper we define Martin-L\\"{o}f complexes to be algebras for monads on the category of (reflexive) globular sets which freely add cells in accordance with the rules of intensional Martin-L\\"{o}f type theory. We then study the resulting categories of algebras for several theories. Our principal result is that there exists a cofibrantly generated Quillen model structure on the category of 1-truncated Martin-L\\"{o}f complexes and that this category is Quillen equivalent to the category of groupoids. In particular, 1-truncated Martin-L\\"{o}f complexes are a model of homotopy 1-types.

研究动机与目标

• 为了形式化一种类型论构造，用于构建模型化同伦1-型的代数结构。
• 为了将马丁-吕夫复合体定义为在反射性圆柱集上内化内涵性类型理论的单子代数。
• 为了在1-截断的马丁-吕夫复合体上建立一个奎伦模型结构。
• 为了证明该模型结构与群范畴奎伦等价。
• 为了证明马丁-吕夫复合体为内涵性类型理论中的等式类型提供了同伦解释。

提出的方法

• 作者在反射性圆柱集范畴上定义了一个单子，该单子根据内涵性马丁-吕夫类型理论的规则自由添加胞射。
• 他们将马丁-吕夫复合体构造为该单子上的代数，编码了包括依赖积、依赖和、等式类型以及自然数在内的类型论运算。
• 本文引入了‘双生体’（doppelgängers）的概念，并利用它们在类型论框架内建模类似群范畴的结构。
• 一个关键技术步骤是构造基本群群范畴函子 $ \boldsymbol{\flat}_1 $ 的左伴随 $ K $，从而在模型结构中实现路径对象论证。
• 通过使用图的余张量积与路径对象构造，证明了 $ \mathbf{MLC}_1 $ 上的奎伦模型结构是由胞射生成的。
• 奎伦等价性的证明依赖于证明伴随关系 $ K \dashv \boldsymbol{π}_1 $ 的单位与余单位为弱等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过圆柱集上的范畴代数结构，利用马丁-吕夫类型理论构造同伦1-型的模型？
• RQ2 在1-截断的马丁-吕夫复合体范畴上是否存在一个奎伦模型结构，能够反映等式类型的同伦本质？
• RQ3 马丁-吕夫复合体上的基本群群范畴函子 $ \boldsymbol{π}_1 $ 与群范畴之间有何关系？
• RQ4 自由群范畴构造在实现 $ \mathbf{MLC}_1 $ 与群范畴之间奎伦等价性中起什么作用？
• RQ5 马丁-吕夫复合体的代数结构能否在1-型水平上完整捕捉内涵性类型理论的同伦内容？

主要发现

• 在1-截断的马丁-吕夫复合体范畴上存在一个由胞射生成的奎伦模型结构。
• 该模型结构与群范畴奎伦等价，确立了马丁-吕夫复合体作为同伦1-型的模型。
• 从 $ \mathbf{MLC}_1 $ 到群范畴的基本群群范畴函子 $ \boldsymbol{π}_1 $ 是一个奎伦等价的一部分，其左伴随为 $ K $。
• 伴随关系 $ K \dashv \boldsymbol{π}_1 $ 的单位与余单位为弱等价，确认了奎伦等价性。
• $ K $ 的构造依赖于将反射性圆柱集上的自由群范畴表示为迭代路径对象的余极限。
• 通过基本群群范畴函子，证明了 $ M_1 $-代数范畴与群范畴等价。