[论文解读] Martingale Optimal Transport and Robust Hedging in Continuous Time

Yan Dolinsky, H. Meté Soner|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 21被引用 5

一句话总结

本文在连续时间市场中建立了路径依赖型欧式期权鲁棒对冲与鞅最优传输问题之间的Kantorovich型对偶关系。证明了最小超对冲成本等于在固定到期边际分布的所有鞅测度上期权期望收益的上确界，并构造了分段常数投资组合，其渐近达到该成本。

ABSTRACT

The duality between the robust (or equivalently, model independent) hedging of path dependent European options and a martingale optimal transport problem is proved. The financial market is modeled through a risky asset whose price is only assumed to be a continuous function of time. The hedging problem is to construct a minimal super-hedging portfolio that consists of dynamically trading the underlying risky asset and a static position of vanilla options which can be exercised at the given, fixed maturity. The dual is a Monge-Kantorovich type martingale transport problem of maximizing the expected value of the option over all martingale measures that has the given marginal at maturity. In addition to duality, a family of simple, piecewise constant super-replication portfolios that asymptotically achieve the minimal super-replication cost is constructed.

研究动机与目标

• 在连续时间金融市场中建立模型无关鲁棒对冲与鞅最优传输之间的对偶关系。
• 在不假设底层资产特定概率模型的前提下，刻画路径依赖型期权的最小超对冲成本。
• 构造一族简单、分段常数的投资组合，使其渐近实现最小超对冲成本。
• 将经典对偶框架扩展至无主导测度且无等价鞅测度假设的连续时间设定。

提出的方法

• 将鲁棒对冲问题形式化为通过标的资产动态交易和欧式期权静态头寸最小化超对冲成本。
• 引入一个对偶问题，即在给定终端边际分布的所有鞅测度上最大化衍生品的期望收益。
• 采用停止时间与分段常数近似相结合的离散化方案，以处理路径依赖型头寸。
• 利用Prokhorov度量与弱收敛论证，控制原始过程与离散化过程之间的近似误差。
• 应用Doob极大不等式与矩界，控制过程近似中大偏差的概率。
• 依赖于关于函数 $ G $ 的关键假设（假设2.1），确保其线性增长与可测性，以推导收敛结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在连续时间、模型无关的市场中，且价格过程连续时，最小超对冲成本的对偶表示是什么？
• RQ2 如何构造一列简单、分段常数的投资组合，使其渐近实现最小超对冲成本？
• RQ3 在不假设等价鞅测度或主导概率测度的条件下，鲁棒对冲与鞅最优传输之间的对偶关系在多大程度上仍然成立？
• RQ4 该对偶关系能否扩展至超出假设2.1所涵盖类别的广义路径依赖型期权？
• RQ5 在价格过程离散化过程中，近似误差在极限下何时趋于零？

主要发现

• 路径依赖型欧式期权的最小超对冲成本等于在所有具有固定终端边际分布的鞅测度上期权期望收益的上确界。
• 构造了一类分段常数的超对冲投资组合，其渐近实现最小成本，误差以 $ \frac{1}{N} + \frac{1}{N^{1/2q}} $ 的速率衰减，其中 $ N $ 为递增的离散化水平。
• 近似误差由函数 $ f_K(\theta, N) $ 有界，其依赖于利普希茨常数 $ L $、有界性常数 $ K $ 以及终端收益的 $ L^p $-范数，且在 $ \theta $ 与 $ N $ 上具有显式衰减速率。
• 该对偶关系无需等价鞅测度或主导测度假设，因此适用于广泛的一类模型无关定价问题。
• 通过将有界或多项式增长的收益函数逼近为满足假设2.1的函数并取极限，该证明方法可推广至有界或多项式增长的收益情形。
• 该框架可扩展至多资产市场与跳跃扩散过程，尽管此时适当停止时间与离散化方案的构造更为复杂。