[论文解读] Martingale optimal transport in the Skorokhod space

Yan Dolinsky, H. Meté Soner|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 18被引用 7

一句话总结

本文在 càdlàg 过程的 Skorokhod 空间中为鞅最优运输建立了 Kantorovich 型对偶性，证明了路径依赖型欧式期权的超复制成本等于其在所有与静态期权价格一致的鞅测度上的期望收益的上确界。该结果可推广至具有凸序约束的多因子情形，并依赖于离散化、弱收敛及 Skorokhod 表示定理来处理不连续性和非紧性问题。

ABSTRACT

The dual representation of the martingale optimal transport problem in the Skorokhod space of multi dimensional cadlag processes is proved. The dual is a minimization problem with constraints involving stochastic integrals and is similar to the Kantorovich dual of the standard optimal transport problem. The constraints are required to hold for very path in the Skorokhod space. This problem has the financial interpretation as the robust hedging of path dependent European options. In this second version, we included the multi-marginal case.

研究动机与目标

• 建立多维、类似跳扩散市场的路径依赖型期权超复制成本的对偶表示。
• 将经典的 Kantorovich 对偶性推广至 càdlàg 过程的 Skorokhod 空间，以容纳不连续的价格轨迹。
• 在一般条件下证明对偶性，包括通过凸序约束的多因子情形及收益函数的生长条件。
• 通过概率与泛函分析技术，处理鞅测度集合的非紧性及价格过程中的不连续性等技术挑战。
• 为模型无关定价与奇异衍生品的稳健对冲提供严格的理论基础。

提出的方法

• 将连续时间问题离散化为一系列具有受控时间步长的有限时域、离散时间市场。
• 在离散近似中应用经典极小化-极大化定理，确保最优对偶变量的存在性。
• 采用 Föllmer 和 Kramkov 的约束对偶方法，处理对偶问题中的鞅约束与定价约束。
• 在 Skorokhod 空间中构造具有一致可积性与紧性的逼近过程序列。
• 运用 Skorokhod 表示定理，实现逼近过程到极限过程的几乎必然收敛。
• 通过条件期望对极限过程进行修正，以恢复鞅性质，确保极限分布属于一致鞅测度集合。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 càdlàg 过程的 Skorokhod 空间中为超复制建立 Kantorovich 型对偶性？
• RQ2 如何将对偶性推广至具有边际分布凸序约束的多因子问题？
• RQ3 处理鞅测度集合的非紧性与价格过程不连续性所需的工具是什么？
• RQ4 在存在跳跃与多维性的情况下，如何严格建立原问题与对偶问题序列的收敛性？
• RQ5 对偶形式能否用于刻画在模型不确定性下一般路径依赖型期权的最小超复制成本？

主要发现

• 路径依赖型期权 G 的超复制成本等于其在所有与静态期权价格一致的鞅测度上的期望收益的上确界。
• 在满足 |G(S)| ≤ C(1 + |S_T|) 的生长条件及 Skorokhod 拓扑下一致连续的条件下，对偶性成立。
• 在多因子情形下，当终端测度 μ_N 具有有限 p 阶矩（p > 1）且各边际处于凸序关系时，对偶性可扩展。
• 通过 Skorokhod 表示与条件期望修正构造的极限过程是一个鞅，其分布属于一致鞅测度集合。
• 原始过程与修正过程之间的逼近误差被控制在 ε 以内，确保对偶序列收敛。
• 证明建立了逼近序列的紧性与一致可积性，从而通过概率嵌入实现弱收敛与几乎必然收敛。