[论文解读] Martingale problems on Banach spaces

Markus Kunze|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文建立了局部本地鞅问题的解与由柱形布朗运动驱动的半线性随机演化方程的解析弱解之间的一一对应关系。它证明了适定方程产生强马尔可夫过程，并将该框架应用于具有可测漂移项和赫尔德连续乘性噪声的方程。

ABSTRACT

We introduce the local martingale problem associated to semilinear stochastic evolution equations driven by a cylindrical Wiener process and establish a one-to-one correspondence between solutions of the martingale problem and (analytically) weak solutions of the stochastic equation. We also prove that the solutions of well-posed equations are strong Markov processes. We apply our results to semilinear stochastic equations with additive noise where the semilinear term is merely measurable and to stochastic reaction-diffusion equations with Holder continuous multiplicative noise.

研究动机与目标

• 制定并分析巴拿赫空间中半线性随机演化方程的局部鞅问题。
• 建立鞅问题解与随机方程解析弱解之间严格的对应关系。
• 证明适定方程的解是强马尔可夫过程。
• 将该框架应用于具有可测漂移项和赫尔德连续乘性噪声的方程。

提出的方法

• 在巴拿赫空间值随机过程的背景下形式化局部鞅问题。
• 运用由柱形布朗运动驱动的半线性随机演化方程的理论。
• 采用泛函分析技术，建立鞅问题解的存在性与唯一性。
• 采用类似Yamada-Watanabe的论证方法，将弱解与鞅问题联系起来。
• 利用强费勒性质和转移概率的正则性，证明强马尔可夫性质。
• 将该框架应用于特定类别的SPDE，包括具有可测漂移和赫尔德连续噪声的方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，局部鞅问题与半线性随机演化方程的弱解相对应？
• RQ2 如何为适定随机演化方程的解建立强马尔可夫性质？
• RQ3 该框架可容纳哪些类型的非线性项（例如，可测、赫尔德连续）？
• RQ4 鞅问题方法能否应用于具有加性噪声和不规则系数的SPDE？
• RQ5 柱形布朗运动在无限维情形下鞅问题表述中起什么作用？

主要发现

• 建立了局部鞅问题解与随机演化方程解析弱解之间的一一对应关系。
• 证明了适定方程的解为强马尔可夫过程，将经典马尔可夫性质推广至无限维情形。
• 该框架适用于仅具有可测漂移项的半线性SPDE，显著扩展了适用方程的范围。
• 结果被推广至具有赫尔德连续乘性噪声的随机反应-扩散方程。
• 柱形布朗运动的使用使得能够处理具有无限维噪声结构的方程。
• 该方法为研究巴拿赫空间中弱解及其路径性质提供了稳健的分析工具。