[论文解读] Martingale representations in progressive enlargement setting: the role of the accessible jump times

Antonella Calzolari, Barbara Torti|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文研究了在渐进扩张设定下的鞅表示，表明FVH-鞅的多重性关键取决于两个鞅M和N的共同可及跳跃时间的行为。在等价解耦测度下，该文通过纳入这些跳跃时间的作用，扩展了Kusuoka的表示定理，揭示了其可预测性与对齐性如何影响表示结构。

ABSTRACT

Let M and N be an F-martingale and an H-martingale respectively on the same probability space, both enjoying the predictable representation property. We discuss how, under the assumption of the existence of an equivalent decoupling measure for F and H, the nature of the jump times of M and N affects the representation of the FVH-martingales.~More precisely we show that the multiplicity in the sense of Davis and Varaiya of FVH depends on the behavior of the common accessible jump times of the two martingales. Then we propose an extension of Kusuoka's representation theorem.

研究动机与目标

• 理解可及跳跃时间的性质如何影响渐进扩张框架下FVH-鞅的表示。
• 分析两个F-和H-鞅之间的共同跳跃时间对表示多重性的影响。
• 通过在等价解耦测度下纳入可及跳跃时间的作用，扩展Kusuoka的表示定理。
• 阐明在滤子扩张设定下，可预测表示性质在何种条件下得以保持。

提出的方法

• 假设滤子F和H存在等价解耦测度，从而能够分离依赖结构。
• 分别分析F-和H-鞅M和N的可预测表示性质（PRP）。
• 研究M和N的共同可及跳跃时间的行为，以确定其对FVH-鞅多重性的影响。
• 使用Davis和Varaiya的多重性概念，根据跳跃时间对齐性来表征FVH-鞅的结构。
• 推导出Kusuoka表示定理的扩展版本，该版本考虑了可及跳跃的可预测性与共现性。
• 在渐进扩张滤子中应用随机分析，推导出涉及跳跃时间与局部鞅分量的表示公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 两个鞅之间的共同可及跳跃时间如何影响渐进扩张中FVH-鞅的多重性？
• RQ2 在解耦测度下，可及跳跃时间在决定FVH-鞅表示结构方面起什么作用？
• RQ3 跳跃时间的可预测性在滤子扩张中如何改变FVH-鞅的表示？
• RQ4 如何将Kusuoka的表示定理推广，以包含渐进扩张中可及跳跃时间的影响？
• RQ5 当跳跃时间共享或同步时，FVH-鞅的可预测表示性质在何种条件下得以保持？

主要发现

• 根据Davis和Varaiya的定义，FVH-鞅的多重性直接受其底层F-和H-鞅的共同可及跳跃时间行为的影响。
• 当共同可及跳跃时间可预测且对齐时，FVH-鞅表示的结构变得更加受限，从而降低多重性。
• 等价解耦测度的存在使得依赖关系得以清晰分离，从而能够推导出扩展的表示公式。
• 所提出的Kusuoka定理扩展版本纳入了可及跳跃时间的作用，为渐进扩张中的表示提供了更全面的框架。
• FVH-鞅的表示不仅依赖于M和N的个体可预测表示性质，还依赖于其可及跳跃时间的联合可预测性。
• 本文确立了共同可及跳跃的对齐性与可预测性在决定FVH-鞅是否具有唯一或多重表示中起着关键作用。