[论文解读] Martingales, endomorphisms, and covariant systems of operators in Hilbert space

Dorin Ervin Dutkay, Palle E. T. Jørgensen|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2004

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 30被引用 52

一句话总结

本文提出了一种希尔伯特空间框架，通过鞅理论与算子扩张，从紧致度量空间上的非可逆自同态构造酉算子。通过将投影极限空间 $X_\infty$ 与一个有限对一、满射映射 $r: X \to X$ 关联，作者在 $X \times \Omega$ 上构造了一个保测度的移位算子 $S$，从而通过佩龙-弗罗贝尼乌斯-鲁埃算子和协变算子系统，实现 $L^2$-鞅与酉扩张的构造。

ABSTRACT

We show that a class of dynamical systems induces an associated operator system in Hilbert space. The dynamical systems are defined from a fixed finite-to-one mapping in a compact metric space, and the induced operators form a covariant system in a Hilbert space of L^2-martingales. Our martingale construction depends on a prescribed set of transition probabilities, given by a non-negative function. Our main theorem describes the induced martingale systems completely. The applications of our theorem include wavelets, the dynamics defined by iterations of rational functions, and sub-shifts in symbolic dynamics. In the theory of wavelets, in the study of subshifts, in the analysis of Julia sets of rational maps of a complex variable, and, more generally, in the study of dynamical systems, we are faced with the problem of building a unitary operator from a mapping r in a compact metric space X. The space X may be a torus, or the state space of subshift dynamical systems, or a Julia set. While our motivation derives from some wavelet problems, we have in mind other applications as well; and the issues involving covariant operator systems may be of independent interest.

研究动机与目标

• 统一并推广在动力系统与小波理论中，从非可逆自同态构造酉算子的方法。
• 为由有限对一、满射映射 $r: X \to X$ 导出的投影极限空间 $X_\infty$ 建立 $L^2$-鞅的希尔伯特空间框架。
• 通过佩龙-弗罗贝尼乌斯-鲁埃算子，建立 $X$ 上的不变测度与路径空间 $\Omega = \prod_\mathbb{N} \{1,\dots,N\}$ 上的Radon测度 $P_x$ 之间的对应关系。
• 基于扩张理论，为满足协变条件的压缩或等距算子提供酉算子的构造方法。
• 通过算子代数与自同态，将多分辨率分析（MRA）框架推广至更一般的情形，包括朱利亚集与子移位。

提出的方法

• 通过有限对一、满射自同态 $r: X \to X$ 的迭代原像的逆极限，定义投影极限空间 $X_\infty = \varprojlim (X, r)$。
• 通过定义 $S(x, \omega) = (r(x), \omega_x \omega_1 \omega_2 \dots)$，在 $X \times \Omega$ 上构造一个移位算子 $S$，其中 $x \in \tau_{\omega_x}(X)$。
• 利用满足 $\sum_k W(\tau_k(x)) h(\tau_k(x)) = h(x)$ 的权函数 $W$ 与密度 $h$，在 $\Omega$ 上定义一族转移测度 $P_x$。
• 通过 $\Psi(x_0, x_1, \dots) = (x_0, \omega_1, \omega_2, \dots)$，其中 $x_n = \tau_{\omega_n}(x_{n-1})$，建立 $X_\infty$ 到 $X \times \Omega$ 的测度保持同构。
• 证明投影测度 $\hat{\mu}$ 在 $X_\infty$ 上满足 $\int_{X_\infty} f \, d\hat{\mu} = \int_X \int_\Omega f \circ \Psi^{-1}(x, \omega) \, dP_x(\omega) \, d\mu(x)$。
• 利用移位算子 $S$ 与测度 $P_x$，通过科波曼算子在 $L^2(X_\infty, \hat{\mu})$ 上定义酉算子，将动力系统提升为酉表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将紧致度量空间上的非可逆自同态 $r: X \to X$ 扩展为更大希尔伯特空间上的酉算子？
• RQ2 与有限对一映射 $r$ 的投影极限相关的 $L^2$-鞅空间 $L^2(X_\infty, \hat{\mu})$ 的结构是什么？
• RQ3 佩龙-弗罗贝尼乌斯-鲁埃算子与 $X$ 上的不变测度如何诱导路径空间 $\Omega$ 上的一致概率测度 $P_x$？
• RQ4 协变算子系统与交织算子在将等距或压缩算子扩张为酉算子的过程中起什么作用？
• RQ5 多分辨率分析（MRA）框架能否通过希尔伯特空间扩张，推广至标准 $L^2(\mathbb{R})$ 设置之外，包括朱利亚集、子移位与梅林？

主要发现

• 映射 $\Psi: X_\infty \to X \times \Omega$ 是一个可测双射，建立了投影极限空间与乘积空间之间的测度论同构。
• 对每个 $x \in X$，$\Omega$ 上的测度 $P_x$ 是良定义的，满足 $\int_\Omega f(\omega) \, dP_x(\omega) = \sum_{\omega_1, \dots, \omega_n} W^{(n)}(\tau_{\omega_n} \dots \tau_{\omega_1}(x)) h(\tau_{\omega_n} \dots \tau_{\omega_1}(x)) f(\omega_1, \dots, \omega_n)$，其中 $f$ 为依赖前 $n$ 个坐标有界可测函数。
• 在 $X \times \Omega$ 上的移位算子 $S$ 满足 $\Psi \circ \hat{r} \circ \Psi^{-1} = S$，表明 $X_\infty$ 上的动力系统与 $X \times \Omega$ 上的移位系统共轭。
• 在 $X_\infty$ 上的投影测度 $\hat{\mu}$ 满足 $\int_{X_\infty} f \, d\hat{\mu} = \int_X \int_\Omega f \circ \Psi^{-1}(x, \omega) \, dP_x(\omega) \, d\mu(x)$，将 $X$ 上的不变测度与 $X \times \Omega$ 上的乘积测度联系起来。
• 与 $S$ 关联的科波曼算子在 $L^2(X_\infty, \hat{\mu})$ 上是酉算子，为 $X$ 上的动力系统提供了酉扩张。
• 该构造为小波与迭代函数系统（IFS）提供了 $C^*$-代数框架，其中 $L^2$-鞅空间作为经典设定之外多分辨率分析的自然希尔伯特空间。