[论文解读] Mass and energy conservative high order diagonally implicit Runge--Kutta schemes for nonlinear Schrödinger equation in one and two dimensions

Ziyuan Liu, Hong Zhang+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2019

Numerical methods for differential equations参考文献 16被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种针对一维和二维非线性薛定谔方程的高阶对角隐式龙格-库塔（DIRK）格式，采用不变能量二次化（IEQ）方法以同时保持质量与能量守恒。该方法结合傅里叶伪谱空间半离散化与高阶DIRK时间积分格式，在数值实验中展示了高达五阶的收敛性、严格的质量与能量守恒（误差小于10⁻¹⁴），并表现出优异的长时间稳定性。

ABSTRACT

We present and analyze a series of conservative diagonally implicit Runge--Kutta schemes for the nonlinear Schrödiner equation. With the application of the newly developed invariant energy quadratization approach, these schemes possess not only high accuracy , high order convergence (up to fifth order) and efficiency due to diagonally implicity but also mass and energy conservative properties. Both theoretical analysis and numerical experiments of one- and two-dimensional dynamics are carried out to verify the invariant conservative properties, convergence orders and longtime simulation stability.

研究动机与目标

• 为一维和二维非线性薛定谔方程（NLS）开发高阶、能量与质量守恒的时间积分格式。
• 解决在具有非线性项的NLS长时模拟中同时保持质量与能量的挑战。
• 将不变能量二次化（IEQ）方法与对角隐式龙格-库塔（DIRK）格式结合，实现任意高阶精度，同时保持守恒律。
• 严格证明半离散与全离散系统的守恒性质。
• 通过收敛性、守恒性与奇异性捕捉的数值实验验证该方法的性能。

提出的方法

• 应用不变能量二次化（IEQ）方法将NLS方程重构为具有二次能量结构的等价系统，从而实现对非线性项的半显式处理。
• 采用傅里叶伪谱方法对空间导数进行离散化，该方法具有谱精度，并保持PDE在空间上的结构特性。
• 在时间方向采用阶数为2至5的对角隐式龙格-库塔（DIRK）格式，确保高阶精度与A-稳定性，同时保持对角结构以实现高效求解。
• 证明当各阶段值满足特定代数约束（M=0）时，半离散与全离散系统能够保持质量与能量守恒。
• 利用IEQ重构方法将原始NLS方程转化为一个具有修正能量的系统，该能量由时间积分格式保持。
• 实现该格式于一维与二维NLS方程，包括周期边界条件与复值解。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造出高阶对角隐式龙格-库塔格式，以在非线性薛定谔方程的时间积分中同时保持质量与能量？
• RQ2 不变能量二次化（IEQ）方法是否能够实现对具有任意多项式非线性项的NLS的保守、高阶时间积分格式？
• RQ3 所提出的IEQ-DIRK格式在时间方向的收敛阶是多少？其在长时模拟中的表现如何？
• RQ4 IEQ-DIRK格式能否准确捕捉NLS方程解中的奇异性与陡峭梯度？
• RQ5 质量与能量误差在长时模拟中如何演化？能否保持在机器精度水平？

主要发现

• 所提出的IEQ-DIRK格式在时间方向实现了高达五阶的收敛性，由$ L^2 $误差与时间步长的对数-对数图验证。
• 所有测试格式（2阶至5阶）的质量与能量误差均数值上可忽略（低于$ 10^{-14} $），证实了在机器精度范围内的完美守恒。
• 该格式在长时间模拟中保持稳定，如在$ T=1000 $、$ \triangle t = 0.01 $的模拟中，质量与能量误差保持有界且处于机器精度水平。
• 该方法能准确捕捉二维NLS中奇异解的动力学行为，包括$ |u_t| $的快速变化，且质量与能量误差始终保持良好控制。
• 一维行波解的数值结果表明，IEQ-DIRK(2,2)与IEQ-DIRK(4,4)均能以高精度重现精确的孤子轮廓。
• 理论证明表明，条件$ M = \boldsymbol{0} $是IEQ-DIRK格式保持质量与能量的必要且充分条件，建立了关键的理论基础。