[论文解读] Mass angular momentum inequality for axisymmetric vacuum data with small trace

Xin Zhou|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2012

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 16被引用 4

一句话总结

该论文通过在自旋演化时空中构造一个极大时空图，利用摄动法，建立了轴对称、渐近平坦、真空初始数据集在小平均曲率迹条件下的质量-角动量不等式 $ m \geq \sqrt{|J|} $。关键结果将该不等式推广至非极大数据，且在轴对称条件下保持了ADM质量与角动量不变。

ABSTRACT

In this paper, we proved the mass angular momentum inequality\cite{D1}\cite{ChrusLiWe}\cite{SZ} for axisymmetric, asymptotically flat, vacuum constraint data sets with small trace. Given an initial data set with small trace, we construct a boost evolution spacetime of the Einstein vacuum equations as \cite{ChOM}. Then a perturbation method is used to solve the maximal surface equation in the spacetime under certain growing condition at infinity. When the initial data set is axisymmetric, we get an axisymmetric maximal graph with the same ADM mass and angular momentum as the given data. The inequality follows from the known results\cite{D1}\cite{ChrusLiWe}\cite{SZ} about the maximal graph.

研究动机与目标

• 将质量-角动量不等式推广至具有小迹的非极大真空初始数据集。
• 解决非极大、轴对称真空数据能否在保持质量与角动量的前提下变形为极大数据的开放问题。
• 在弱于以往结果的条件下建立该不等式，以往结果要求数据为极大。
• 在形变过程中利用爱因斯坦方程的守恒律，保持轴对称性与物理量（质量与角动量）不变。

提出的方法

• 根据具有小迹的给定真空初始数据，如文献[10]所述，构造一个自旋演化时空。
• 在无穷远处满足特定衰减条件的前提下，利用摄动法求解演化时空中极大曲面方程。
• 利用初始数据的轴对称性，构造一个保持原始ADM质量与角动量的轴对称极大图。
• 应用关于极大图的已知结果[16, 12, 23]，推导出质量-角动量不等式。
• 利用能量估计与加权Sobolev范数（$ H_{s,\tau} $）控制解的正则性与衰减性。
• 运用乘法与限制引理，估计能量估计中的导数项与边界项。

实验结果

研究问题

• RQ1 质量-角动量不等式能否推广至具有小平均曲率迹的非极大真空数据？
• RQ2 是否存在一种规范方法，可将非极大、轴对称的真空数据变形为极大数据，同时保持质量与角动量不变？
• RQ3 摄动方法在形变过程中能否保持轴对称性与物理量？
• RQ4 第二基本形式迹的充分条件是什么，以确保不等式成立？
• RQ5 加权Sobolev范数与衰减条件如何影响自旋时空中极大曲面的存在性与正则性？

主要发现

• 对于轴对称、渐近平坦、真空初始数据，当 $ \|\operatorname{tr}_g k\|_{H_{s-2,\delta+3/2}} \leq \epsilon $ 时，质量-角动量不等式 $ m \geq \sqrt{|J|} $ 成立，其中 $ \epsilon $ 为一极小的通用常数。
• 为具有小迹的初始数据构造了自旋演化时空，使得摄动技术得以应用。
• 在演化时空中构造了一个轴对称极大图，保持了原始ADM质量与角动量。
• 证明依赖于加权Sobolev空间 $ H_{s,\delta} $ 中的能量估计，其中 $ -\frac{3}{2} < \delta < -1 $，以确保无穷远处的适当衰减。
• 通过利用爱因斯坦方程中的守恒律，摄动方法成功保持了轴对称性与物理量。
• 该结果在小迹条件下，将以往仅适用于极大数据的不等式推广至非极大情形。