[论文解读] Mass-conserving solutions to the Smoluchowski coagulation equation with singular kernel

Prasanta Kumar Barik, Ankik Kumar Giri+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2018

Navier-Stokes equation solutions参考文献 23被引用 11

一句话总结

本文建立了具有奇异共聚核的连续Smoluchowski共聚方程全局质量守恒弱解的存在性，该共聚核在小体积处表现出代数奇异性，在大体积处呈线性增长。分析采用 $L^1$ 中的弱紧致性方法，并证明所有弱解——无论来自保守或非保守近似——本质上都是质量守恒的，扩展了先前在更广泛条件下（包括初始数据具有无限二阶矩）的结果。

ABSTRACT

Global weak solutions to the continuous Smoluchowski coagulation equation (SCE) are constructed for coagulation kernels featuring an algebraic singularity for small volumes and growing linearly for large volumes, thereby extending previous results obtained in Norris (1999) and Cueto Camejo \\& Warnecke (2015). In particular, linear growth at infinity of the coagulation kernel is included and the initial condition may have an infinite second moment. Furthermore, all weak solutions (in a suitable sense) including the ones constructed herein are shown to be mass-conserving, a property which was proved in Norris (1999) under stronger assumptions. The existence proof relies on a weak compactness method in $L^1$ and a by-product of the analysis is that both conservative and non-conservative approximations to the SCE lead to weak solutions which are then mass-conserving.

研究动机与目标

• 建立具有在小体积处奇异、在大体积处线性增长的奇异共聚核的Smoluchowski共聚方程全局弱解的存在性。
• 通过证明所有弱解——无论近似方法如何——均具有质量守恒性，扩展先前关于质量守恒的研究结果，即使初始数据具有无限二阶矩。
• 将先前在更强假设下（特别是Norris, 1999年和Cueto Camejo & Warnecke, 2015年）的结果推广至更广泛的共聚核类。
• 利用 $L^1$ 中的弱紧致性建立严格的分析框架，以处理共聚核的奇异性和无界性。

提出的方法

• 采用 $L^1$ 中的弱紧致性方法，从近似解中提取收敛子序列。
• 使用带权 $L^1$ 范数，权重为 $\zeta^{-\beta}$，以控制在零附近和无穷远处的可积性。
• 在时间区间和空间截断上应用对角线论证，实现 $\mathscr{C}_w([0,T];L^1((0,\infty);(\zeta^{-\beta}+\zeta)d\zeta))$ 中的序列紧致性。
• 通过核的奇异行为 $\Psi(\zeta,\eta) \lesssim \zeta^{-\beta}\eta$（小 $\zeta$ 时）和大 $\eta$ 时的线性增长，推导共聚算子的估计。
• 通过先验估计和弱极限论证，证明近似解的收敛性可保持质量守恒。
• 证明依赖于Dunford-Pettis定理以及适用于时间中弱序列紧致性的Arzelà-Ascoli定理的变体。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为在小体积处奇异、在大体积处线性增长的奇异核的Smoluchowski共聚方程构造全局弱解？
• RQ2 当初始数据具有无限二阶矩时，此类奇异且无界核下，所有弱解是否仍具有质量守恒性？
• RQ3 能否在弱于Norris (1999) 和 Cueto Camejo & Warnecke (2015) 所用假设的条件下，建立解的存在性与质量守恒性？
• RQ4 对SCE的保守与非保守近似是否均产生质量守恒的弱解？

主要发现

• 对于满足 $\Psi(\zeta,\eta) \lesssim \zeta^{-\beta}\eta$（小 $\zeta$ 时）和无穷远处线性增长的共聚核，Smoluchowski共聚方程存在全局弱解，其中 $\beta \in (0,1/2)$。
• 通过所提方法构造的所有弱解均为质量守恒的，即使初始条件具有无限二阶矩。
• 存在性证明依赖于在 $L^1$ 中采用精心选择的权重 $\zeta^{-\beta}$ 的弱紧致性论证，以处理零点处的奇异性。
• 该方法确保保守与非保守近似均收敛至质量守恒的弱解，证明了质量守恒性质的鲁棒性。
• 分析将可接受的共聚核类扩展至先前结果之外，包括无穷远处的线性增长和小体积处的奇异行为。
• 在加权范数的 $L^1$ 弱拓扑中建立了近似解的收敛性，从而实现对小粒子体积和大粒子体积的控制。