[论文解读] Masse des opérateurs GJMS

Benoît Michel|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2010

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文通过使用 $k$-阶 GJMS 算子 $P_k$ 的格林函数奇点的常数项，将 Habermann 和 Jost 在 Yamabe 正性共形类中构造典范度量的方法推广。在维度 $n = 2k+1, 2k+2, 2k+3$ 时，若 $P_k$ 具备格林函数，则该常数项为权 $2k - n$ 的共形密度；当其为正时，可定义一个典范度量。对于维度 5、6 或 7 中的 Paneitz-Branson 算子 ($P_2$)，已证明其正性，并通过立体投影将该常数项与一个渐近不变量联系起来。

ABSTRACT

This work generalizes a construction by Habermann and Jost of a canonical metric in a Yamabe-positive conformal class, which uses the Green function of the conformal Laplacian. In dimension $n=2k+1$, $2k+2$, or $2k+3$, if the $k$-th GJMS operator $P_k$ admits a Green function, the constant term of its singularity is shown to be a conformal density of weight $2k-n$, when restricted to appropriate choices of conformal factor. When it is positive, it is used to build a canonical metric in the conformal class. In the case of the Paneitz-Branson operator $P_2$, in dimension 5, 6 or 7, we show a positiveness result. In additition, we relate it to an asymptotic invariant of the manifold obtained by stereographic projection via the Green function.

研究动机与目标

• 将 Habermann 和 Jost 在 Yamabe 正性共形类中基于共形拉普拉斯算子的典范度量构造方法，推广至更高阶的 GJMS 算子。
• 在适当条件下，建立 $k$-阶 GJMS 算子 $P_k$ 的格林函数奇点中常数项为权 $2k - n$ 的共形密度。
• 证明当该常数项为正时，其在共形类中定义了一个典范度量。
• 建立该常数项与通过格林函数进行立体投影所得流形的渐近不变量之间的联系。
• 将该构造推广至维度 5、6 和 7 中的 Paneitz-Branson 算子 $P_2$，并证明常数项的正性。

提出的方法

• 在点 $p$ 处使用至四阶的正常共形度量，确保里奇张量及其对称协变导数在 $p$ 处为零，以控制 $P_k$ 的格林函数奇点。
• 推导格林函数 $G_k^g(p,x)$ 在 $p$ 附近的渐近展开，表明 $G_k^g(p,x) = \frac{1}{\mathfrak{c}_{n,k}} r^{2k-n} + A + o(1)$，其中 $r$ 为测地距离，$A$ 为常数项。
• 建立共形协变性：在 $\tilde{g} = \varphi^{\frac{4}{n-2k}}g$ 下，格林函数变换为 $G_k^{\tilde{g}}(x,y) = \frac{G_k^g(x,y)}{\varphi(x)\varphi(y)}$，保持奇点结构不变。
• 对流形 $M \setminus \{p\}$ 应用立体投影，得到一个渐近平坦的度量 $\hat{g}$，通过积分 $\hat{\Delta}^{k-1}\widehat{\mathrm{Scal}}$ 将常数项 $A$ 与渐近不变量联系起来。
• 利用径向坐标下度量 $\bar{g}$ 的渐近展开，其中 $\bar{g}$ 渐近平坦且阶数 $\tau > 0$，计算 $\bar{\Delta}^{k-1}\overline{\mathrm{Scal}}$ 在大球面上的积分。
• 计算质量型不变量 $m_k(\hat{g}) = \frac{4(n-1)}{n-2k}A$，表明 $A$ 决定渐近质量且具有共形不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Habermann 和 Jost 原先基于共形拉普拉斯算子的典范度量构造方法，能否推广至更高阶的 GJMS 算子 $P_k$？
• RQ2 在维度 $n = 2k+1, 2k+2, 2k+3$ 时，$P_k$ 的格林函数奇点中的常数项 $A$ 是否为权 $2k - n$ 的共形密度？
• RQ3 在何种条件下常数项 $A$ 为正，从而可在共形类中构造典范度量？
• RQ4 常数项 $A$ 如何与通过格林函数进行立体投影所得流形的渐近不变量相关联？
• RQ5 Paneitz-Branson 算子 $P_2$ 在维度 5、6 和 7 中的质量不变量 $m_k$ 的行为如何？

主要发现

• 在维度 $n = 2k+1, 2k+2, 2k+3$ 时，若 $P_k$ 具备格林函数且度量在某点处为四阶正常共形度量，则其格林函数奇点中的常数项 $A$ 为权 $2k - n$ 的共形密度。
• 当 $A > 0$ 时，其在共形类中定义了一个典范度量，将 Habermann-Jost 构造方法推广至共形拉普拉斯算子之外。
• 对于维度 5、6 和 7 中的 Paneitz-Branson 算子 $P_2$，常数项 $A$ 已被证明为正，从而在这些情形下可构造典范度量。
• 常数项 $A$ 与渐近质量不变量 $m_k(\hat{g})$ 通过 $m_k(\hat{g}) = \frac{4(n-1)}{n-2k}A$ 相关联，从而将其与 $\hat{\Delta}^{k-1}\widehat{\mathrm{Scal}}$ 在投影流形上的积分联系起来。
• 在立体投影下，度量 $\hat{g}$ 为阶数 $\tau = 2$ 的渐近平坦度量，且质量不变量 $m_k(\hat{g})$ 有限且非零当且仅当 $A \neq 0$，若 $A = 0$ 则 $m_k(\hat{g}) = 0$。
• 该构造具有共形不变性，依赖于 $P_k$ 及其格林函数的协变性，确保常数项 $A$ 在共形重标度下一致变换。