[论文解读] Masur-Veech volumes and intersection theory: the principal strata of quadratic differentials

D. Chen, Martin Moeller+4 more|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 31被引用 9

一句话总结

本文通过曲线模空间上的交点理论，提出了并证明了关于二次微分的各向量空间的Masur-Veech体积的猜想公式。研究证明，对于仅含单零点的主向量空间，体积等于涉及二次Hodge丛的上Segre类的显式交点数，该表达式可简化为线性Hodge积分。关键成果是证明该类可通过Eynard-Orantin拓扑递归计算，从而实现体积及相关不变量的显式计算。

ABSTRACT

We describe a conjectural formula via intersection numbers for the Masur-Veech volumes of strata of quadratic differentials with prescribed zero orders, and we prove the formula for the case when the zero orders are odd. For the principal strata of quadratic differentials with simple zeros, the formula reduces to compute the top Segre class of the quadratic Hodge bundle, which can be further simplified to certain linear Hodge integrals. An appendix proves that the intersection of this class with $\psi$-classes can be computed by Eynard-Orantin topological recursion. As applications, we analyze numerical properties of Masur-Veech volumes, area Siegel-Veech constants and sums of Lyapunov exponents of the principal strata for fixed genus and varying number of zeros, which settles the corresponding conjectures due to Grivaux-Hubert, Fougeron, and elaborated in [the7]. We also describe conjectural formulas for area Siegel-Veech constants and sums of Lyapunov exponents for arbitrary affine invariant submanifolds, and verify them for the principal strata.

研究动机与目标

• 提出并证明一个利用曲线模空间上交点数计算二次微分各向量空间Masur-Veech体积的公式。
• 证明对于仅含单零点的主向量空间，体积可简化为二次Hodge丛的上Segre类的计算。
• 证明该Segre类与ψ-类的交点可通过Eynard-Orantin拓扑递归计算。
• 将该公式应用于分析固定亏格下，零点数量变化时体积、Siegel-Veech常数与Lyapunov指数的渐近性质。
• 验证任意仿射不变子流形中面积Siegel-Veech常数与Lyapunov指数和的猜想公式，重点聚焦于主向量空间情形。

提出的方法

• 提出一个猜想公式（猜想1.1），将Masur-Veech体积表示为在射影化各向量空间上，关于tautological线丛的第一陈类ζ与ψ-类的交点数。
• 证明该公式对仅含奇数阶零点的各向量空间成立（定理1.2），表明体积等于仅涉及ζ且不包含ψ-类的交点数。
• 对于仅含单零点的主向量空间，识别出二次Hodge丛Qg,n的上Segre类s(Qg,n)为相关交点类。
• 通过已知的Hodge丛特征类公式，将体积计算简化为线性Hodge积分（定理1.3）。
• 利用特定谱曲线（x(z) = -z - ln z, y(z) = z²）上的Eynard-Orantin拓扑递归，计算Segre类与ψ-类的交点。
• 通过递归核的渐近展开构造类Ωg,n[a,b]，证明其生成了相关交点数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过曲线模空间上的交点数计算二次微分各向量空间的Masur-Veech体积？
• RQ2 二次Hodge丛的上Segre类是否可通过拓扑递归计算？其结果是否给出主向量空间的Masur-Veech体积？
• RQ3 当零点数量增加时，主向量空间的Masur-Veech体积、Siegel-Veech常数与Lyapunov指数和的渐近行为如何？
• RQ4 能否使用Eynard-Orantin拓扑递归计算Segre类与ψ-类的交点？
• RQ5 在任意仿射不变子流形中，关于Siegel-Veech常数与Lyapunov指数和的猜想公式是否在主向量空间情形成立？

主要发现

• 猜想公式（猜想1.1）对仅含奇数阶零点的各向量空间已得证明（定理1.2）。
• 对于主向量空间Qg,4g−4+2n(14g−4+n, −1n)，体积由涉及线性Hodge积分的显式交点数给出（定理1.3）。
• 通过在谱曲线（x(z) = -z - ln z, y(z) = z²）上应用Eynard-Orantin拓扑递归，计算了Segre类s(Qg,n)与ψ-类的交点，从而证明了附录中的公式(4)。
• 拓扑递归得到的幅值Fg,n[0,...,0]的ki=0项即为Masur-Veech体积，与[the7]中的已知结果一致。
• 利用体积公式证明了归一化体积是n的有理函数，其次数至多为⌊(g-1)/2⌋，从而证实了[the7]中的一个猜想。
• 本文验证了主向量空间情形下关于面积Siegel-Veech常数与Lyapunov指数和的猜想公式，给出了以Hodge积分表示的显式表达式。