[论文解读] Matched pairs of discrete dynamical systems

Oğul Esen, Serkan Sütlü|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2018

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 35被引用 4

一句话总结

本文为匹配对李群胚上的离散动力系统构建了一个几何框架，将欧拉-拉格朗日方程分解为两个相互作用子系统的分量，并引入由其相互作用产生的附加项。主要贡献在于推导了匹配对李群上的离散欧拉-拉格朗日方程，通过伊wasawa分解在平凡群胚和SL(2,C)上进行了说明。

ABSTRACT

Matched pairs of Lie groupoids and Lie algebroids are studied. Discrete Euler-Lagrange equations are written for the matched pairs of Lie groupoids. As such, a geometric framework to analyse a discrete system by decomposing it into two mutually interacting subsystems is established. Two examples are provided to illustrate this strategy; the discrete dynamics on the trivial groupoid, and the discrete dynamics on the special linear group.

研究动机与目标

• 建立一个几何框架，通过匹配对结构将离散动力系统分解为两个相互作用的子系统。
• 利用李群胚和李代数胚，将匹配对动力学理论从连续情形推广到离散情形。
• 推导包含相互作用项的匹配对李群胚上的显式离散欧拉-拉格朗日方程。
• 通过具体例子（平凡群胚和通过Iwasawa分解的SL(2,C)）演示该框架。
• 为未来在李代数胚上研究匹配对拉格朗日动力学奠定基础。

提出的方法

• 利用李群胚和李代数胚的匹配对理论，推广半直积构造。
• 在李群胚上应用离散变分原理，沿左不变与右不变向量场计算拉格朗日量的方向导数。
• 将匹配对李群胚上的离散欧拉-拉格朗日方程表示为各子系统方程之和，外加相互作用项。
• 利用SL(2,C)的Iwasawa分解为SU(2)和一个单连通子群K，实现动力学的分解。
• 通过导出算子如 $\mathfrak{a}_B^*$, $\mathfrak{b}_A^*$, 和 $A^*\triangleright$ 计算相互作用，表示余伴随作用与伴随表示。
• 使用作用映射的转置来表达最终欧拉-拉格朗日方程中的相互作用项。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将匹配对李群胚上的离散欧拉-拉格朗日方程分解为构成子系统的方程？
• RQ2 在匹配对结构中，两个相互作用的离散动力系统之间产生的附加项是什么？
• RQ3 SL(2,C)的匹配对分解为SU(2)和K如何影响离散欧拉-拉格朗日方程的结构？
• RQ4 能否通过其作用群胚和粗群胚分量以及相互作用修正项，完全重构平凡群胚上的离散动力学？
• RQ5 Iwasawa分解在实现SL(2,C)上离散动力学的匹配对公式化中起到什么作用？

主要发现

• 匹配对李群胚上的离散欧拉-拉格朗日方程可表示为各子系统方程之和，外加由相互作用产生的项。
• 对于平凡群胚，动力学被分解为作用群胚和粗群胚的方程，其相互作用项源于它们之间的相互作用。
• 在SL(2,C)上，SU(2)与K的匹配对分解导致离散欧拉-拉格朗日方程显式包含SU(2)对K及其反向的伴随作用与余伴随作用项。
• 相互作用项通过转置算子 $\mathfrak{a}_B^*$, $\mathfrak{b}_A^*$, 和 $A^*\triangleright$ 编码，这些算子源自群作用。
• SL(2,C)上的最终欧拉-拉格朗日方程是一个非线性系统，包含 $\mathop{\rm Ad}^*_{A_k}\Phi_k$, $T^*r_{B_k}$, 和 $\mathop{\rm Rot}_{A_{k+1}}^*$，反映出非平凡的耦合。
• 该框架成功地将连续匹配对动力学推广到离散情形，保持了几何结构，并支持对复杂系统的模块化分析。