[论文解读] Matched Queues with Matching Batch Pair (m, n)

Heng-Li Liu, Quan‐Lin Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2020

Transportation and Mobility Innovations参考文献 71被引用 6

一句话总结

本文提出了一种矩阵分析方法，用于新型批量匹配排队系统，该系统涉及 $m$ 名 A 类客户与 $n$ 名 B 类客户的批量匹配，且两类客户均具有不耐烦特性。通过双向水平依赖的 QBD 过程与 RG-分解技术，本文建立了系统稳定性，计算了平稳队列长度、停留时间及离去过程，为 ridesharing 和医疗保健等平台中的通用匹配排队系统提供了框架。

ABSTRACT

In this paper, we discuss an interesting but challenging bilateral stochastically matching problem: A more general matched queue with matching batch pair (m, n) and two types (i.e., types A and B) of impatient customers, where the arrivals of A- and B-customers are both Poisson processes, m A-customers and n B-customers are matched as a group which leaves the system immediately, and the customers' impatient behavior is to guarantee the stability of the system. We show that this matched queue can be expressed as a novel bidirectional level-dependent quasi-birth-and-death (QBD) process. Based on this, we provide a detailed analysis for this matched queue, including the system stability, the average stationary queue lengthes, and the average sojourn time of any A-customer or B-customer. We believe that the methodology and results developed in this paper can be applicable to dealing with more general matched queueing systems, which are widely encountered in various practical areas, for example, sharing economy, ridesharing platform, bilateral market, organ transplantation, taxi services, assembly systems, and so on.

研究动机与目标

• 建立并分析一种广义的匹配排队系统，支持 $m$ 名 A 类客户与 $n$ 名 B 类客户的批量匹配。
• 解决因 $(m,n)$ 批量配对导致的双向无限层级 QBD 过程中非均匀转移矩阵的挑战。
• 将两类不耐烦客户引入匹配排队模型，提升现实应用中的真实性。
• 利用 RG-分解技术开发系统化的矩阵分析框架，用于此类系统的性能评估。
• 提供算法以计算关键性能指标：平稳队列长度、停留时间与离去过程。

提出的方法

• 将系统建模为具有双向无限层级的水平依赖半生灭过程（QBD），以捕捉 A 类与 B 类客户队列的联合动态。
• 应用 RG-分解技术，计算无限维大小的极大非正逆矩阵，从而求解平稳分布。
• 采用 phase-type (PH) 分布与带标记转移的马氏到达过程（MMAP），以建模不耐烦客户的行为与到达过程。
• 通过递归计算正负层级对应的 $R$-矩阵与 $\tilde{R}$-矩阵，推导出平稳分布。
• 通过证明嵌入式 QBD 过程 $Q_A$ 与 $Q_B$ 的正递归性，建立稳定性条件。
• 通过验证全局平衡方程与归一化条件 $\pi \mathbf{e} = 1$，验证平稳分布的正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有批量配对 $(m,n)$ 与不耐烦客户的匹配排队系统是稳定的？
• RQ2 如何为具有双向无限层级与非均匀转移的水平依赖 QBD 过程计算平稳分布？
• RQ3 该广义匹配排队系统的关键性能指标——平均队列长度、停留时间与离去过程——是什么？
• RQ4 RG-分解方法如何扩展以处理双向 QBD 过程中的无限维矩阵？
• RQ5 所提出的矩阵分析框架能否推广至现实应用中的其他匹配排队系统？

主要发现

• 当且仅当嵌入式 QBD 过程 $Q_A$ 与 $Q_B$ 均为正递归时，系统稳定，该结论通过谱半径条件得以证明。
• 平稳分布表示为：$\pi_k = c \tilde{\pi}_k R_1 R_2 \cdots R_{k-1}$（$k \geq 2$），$\pi_1 = c \tilde{\pi}_1$，$\pi_0 = c \tilde{\pi}_0$，$\pi_{-1} = c \tilde{\pi}_{-1}$，且 $\pi_k = c \tilde{\pi}_{-1} \mathbb{R}_{-1} \mathbb{R}_{-2} \cdots \mathbb{R}_{k+1}$（$k \leq -2$），其中 $c$ 由归一化条件确定。
• 平稳分布满足全局平衡方程 $\pi Q = \mathbf{0}$ 与归一化条件 $\pi \mathbf{e} = 1$，通过在层级 $k \geq 2$、$k \leq -2$ 以及 $k = -1, 0, 1$ 上的分情况分析得以验证。
• 该方法可有效计算平均平稳队列长度、平均停留时间及离去过程。
• 该框架可推广至其他匹配排队系统，包括 ridesharing、器官移植与装配线等场景。
• RG-分解技术的应用使得在双向 QBD 过程中有效处理无限维矩阵成为可能，这是排队论领域的一项新贡献。