[论文解读] Matching and MIS for Uniformly Sparse Graphs in the Low-Memory MPC Model

Sebastian Brandt, Manuela Fischer+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2018

Graph Theory and Algorithms参考文献 2被引用 14

一句话总结

本文提出了低内存 MPC 模型中最大匹配和最大独立集的首个 poly(log log n) 轮算法，该模型中每台机器仅有 n^δ 空间（δ < 1）。通过引入一种新颖的度数缩减技术，将分岔度为 λ 的图转化为最大度数为 poly(λ) 的图，作者打破了线性内存障碍，在均匀稀疏图中实现了亚多对数轮复杂度。

ABSTRACT

The Massively Parallel Computation (MPC) model serves as a common abstraction of many modern large-scale parallel computation frameworks and has recently gained a lot of importance, especially in the context of classic graph problems. Unsatisfactorily, all current $ ext{poly} (\log \log n)$-round MPC algorithms seem to get fundamentally stuck at the linear-memory barrier: their efficiency crucially relies on each machine having space at least linear in the number $n$ of nodes. As this might not only be prohibitively large, but also allows for easy if not trivial solutions for sparse graphs, we are interested in the low-memory MPC model, where the space per machine is restricted to be strongly sublinear, that is, $n^δ$ for any $0

研究动机与目标

• 为克服 MPC 模型中的线性内存障碍，现有算法要求每台机器具备 Ω(n) 空间，对稀疏图无法高效扩展。
• 设计低内存 MPC 模型中最大匹配和最大独立集（MIS）的高效算法，其中每台机器仅有 n^δ 空间（0 < δ < 1）。
• 在均匀稀疏图中，为这些基础图问题实现亚多对数轮复杂度——具体为 O(poly(log log n))。
• 证明度数缩减技术可实现对 LOCAL 和 PRAM 算法的高效模拟，从而绕过先前方法的限制。

提出的方法

• 提出一种度数缩减技术，将分岔度为 λ 的图转换为最大度数为 poly(λ) 的图，从而在低内存 MPC 模型中实现高效计算。
• 使用基于 H-划分的部分定向方法，将节点组织为分层结构，以支持在尊重本地内存限制的前提下进行分布式边标记与提议。
• 通过让每个节点在其 2^i 跳邻域内收集信息（以块为单位），模拟集中式匹配与 MIS 算法，其中 i 为 H-划分中的层级索引。
• 按层级深度递减顺序依次处理各块，确保关于边是否加入匹配或节点是否加入 MIS 的决策一致且无冲突。
• 利用局部决策仅依赖有界半径邻域的特性，这些邻域可在每台机器 O(n^δ) 的内存限制内收集。
• 通过限制 H-划分构造中的迭代次数，并确保每轮通信高效，实现 O(1/δ · log log n) 轮通信。

实验结果

研究问题

• RQ1 在低内存 MPC 模型中，是否可在 poly(log log n) 轮内计算出最大匹配与 MIS，其中每台机器仅有 n^δ 空间（δ < 1）？
• RQ2 能否通过降低图的最大度数（同时保持解语义不变）来打破 MPC 模型中稀疏图问题的线性内存障碍？
• RQ3 如何在仅使用每台机器子线性空间的前提下，高效模拟低内存 MPC 模型中的现有 LOCAL 和 PRAM 算法？
• RQ4 对于分岔度 λ = poly(log n) 的图，最大匹配与 MIS 的轮复杂度是多少？是否可显著优于 Luby 的 O(log n) PRAM 算法？
• RQ5 所得到的匹配能否用于在相同轮复杂度内推导出最大基数匹配与最小顶点覆盖的良好近似解？

主要发现

• 本文首次提出低内存 MPC 模型中最大匹配的 poly(log log n) 轮算法，打破了长期存在的线性内存障碍。
• 对于分岔度 λ = poly(log n) 的图，该算法实现 O(log² log n) 轮，相比 Luby 的 O(log n) PRAM 算法实现了近乎指数级的改进。
• 最大匹配算法可用于在相同轮复杂度内计算 (1+ε)-近似最大基数匹配和 (2+ε)-近似最大权匹配。
• 同样可通过该匹配构造在 O(log² log n) 轮内计算出 2-近似最小顶点覆盖。
• 度数缩减技术使得在低内存 MPC 模型中仅用 O(1/δ · log log n) 轮即可模拟 LOCAL 算法，其中 δ 控制每台机器的子线性内存。
• 该方法具有通用性，适用于任意有界分岔度的图，因此适用于社交图或通信图等真实世界的稀疏网络。